电磁波的达朗贝尔方程工程电磁场P25

news2025/7/20 12:13:19

我们有下述两个方程

$\left\{ \begin{aligned} \nabla^2 \vec A -\mu \varepsilon \frac{\partial ^2 \vec A }{\partial t}=-\mu \vec J \\ \nabla^2 \varphi -\mu \varepsilon \frac{\partial ^2 \varphi }{\partial t}=-\frac{\rho}{\varepsilon} \\ \end{aligned} \right.$

记住一定是线性介质

称为电磁波的达朗贝尔方程，是两个非齐次方程

我们下面介绍达朗贝尔方程的解

我们就用最简单的场源举例

这个方程可以写成

$\left\{ \begin{aligned} \nabla^2 \vec A -\mu \varepsilon \frac{\partial ^2 \vec A }{\partial t}=0(r \neq 0) \end{aligned} \right.$

动态位是r和时间的函数

我们可以在球坐标系下展开成

$\frac{\partial}{\partial r}(r^2 \frac{\partial \varphi}{\partial r})-\mu \varepsilon \frac{\partial^2 \varphi}{\partial t^2}=0(r\neq 0)$

我们再做一下变换

$\frac{\partial (r \varphi)}{\partial r^2}-\mu \varepsilon \frac{\partial^2 (r\varphi)}{\partial t^2}=0(r\neq 0)$

现在如果在这个微分方程里面

把 $r\varphi$ 看作是一个整体

我们有两个解答

$f_1(t-\frac{r}{v}),f_2 (t+\frac{r}{v}) ,v=\frac{1}{\sqrt{\mu \varepsilon}}$

微分方程是一个二阶的，我们在构造通解的时候，需要两个特解

我们现在关心两个特解的物理含义

$f_1(t-\frac{r}{v})$

最后我们可以得到达朗贝尔解的公式

$\varphi (\vec R, t)=\int_{V} \frac{\rho(\vec R^{\prime t -\frac{R}{V}})dV^{\prime}}{4 \pi \varepsilon R}$

$\vec A (\vec R, t)=\frac{\mu}{4 \pi}\int_{V} \frac{\vec J (\vec R^{\prime t -\frac{R}{V}})dV^{\prime}}{R}$

称为达朗贝尔方程的解

说明场源在空间某一点的效应，不由当前的场源所决定，而是由前一时刻（说明场源的变化导致的影响需要时间来产生）

这个有什么样的好处呢？

如果现在构造场源，天线的接收强度一定，布置场源在其他范围相互抵消，在接收范围内增强

这就是一种天线

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