程序性能分析

2.1 什么是程序性能

程序性能：所谓程序性能（performance of a program）是指运行这个程序所需要的内存和时间的多少。

性能分析：在性能分析（performance analysis）时，采用分析方法。

性能测量：在性能测量（performance measurement）时，使用实验方法。

程序的空间复杂度：（space complexity）是指该程序的运行所需内存的大小。

• 一个程序要运行在一个多用户计算机系统中，需要指明该程序所需内存的大小。
• 在任何一个计算机系统上运行程序，都需要知道是否有足够的内存可以用来运行该程序。
• 一个问题可能有若干个解决方案，它们对内存的需求各不相同。
• 利用空间复杂度，我们可以估算一个程序所能解决的问题最大可以是什么规模。

时间复杂度：（time complexity）是指运行程序所需要的时间。

• 有些计算机需要用户提供程序运行时间的上限，一旦达到这个上限，程序将被强制结束。
• 正在开发的程序可能需要一个令人满意的实时响应。

2.2 空间复杂度

2.2.1 空间复杂度的组成

（1）指令空间（instruction space）
指令空间是指编译之后的程序指令所需要的存储空间。

（2）数据空间（data space）
数据空间是指所有常量和变量值所需要的存储空间。它由两个部分构成：

• 常量和简单变量所需要的存储空间。
• 动态数组和动态类实例等动态对象所需要的空间。

（3）环境栈空间（environment stack space）
环境栈用来保存暂停的函数和方法在恢复运行时所需要的信息。(保存现场)

2.2.2 指令空间

指令空间的数量取决于如下因素：

• 把程序转换成机器代码的编译器。
• 在编译时的编译器选项。
• 目标计算机的配置。

覆盖选项：编译器的覆盖选项也可以显著地减少程序空间。在覆盖模式下，空间仅分配给当前正在执行的程序模块。调用一个新模块需要从磁盘或其他设备中读取，新模块的代码将覆盖原模块的代码。因此，程序所需要的空间便是最大模块所需要的空间，而不是所有模块所需要的空间之和。

2.2.3 数据空间

一个结构变量的空间大小是每个结构成员所需的空间大小之和。类似的，一个数组的空间大小是数组的长度乘以一个数组元素的空间大小。

2.2.4 环境栈空间

下面的数据将被保存在环境栈中：

• 返回地址。
• 正在调用的函数的所有局部变量的值以及形式参数的值（仅对递归函数而言）。

值得注意的是，有些编译器，不论对递归函数还是非递归函数，在函数调用时，都会保留局部变量和形参的值，而有些编译器仅对递归函数才会如此。因此，实际使用的编译器将影响环境栈所需空间的大小。

递归函数所需要的栈空间通常称为递归栈空间（recursion stack space）。它的大小依赖于局部变量和形式参数所需要的空间，依赖于递归的最大深度（即嵌套递归调用的最大层次）。

可以把一个程序所需要的空间分成两部分：

• 固定部分：它独立于实例特征。这一部分通常包括指令空间（即代码空间）、简单变量空间和常量空间等。
• 可变部分：它由动态分配空间构成和递归栈空间构成。前者在某种程度上依赖实例特征，而后者主要依赖实例特征。

任意程序P所需要的空间可以表示为：
$$c+S_p(实例特征)$$
其中c是一个常量，表示空间需求的固定部分，S_p表示空间需求的可变部分。要精确地分析空间性能，还要考虑在编译期间所产生的临时变量所需要的空间 。

举例：

//程序1-31 累加数组元素a[0：n-1]的递归代码
template<class T>
T rSum（T a[], int n）
{//返回数组元素a[0：n-1]的和
    if（n > 0）
        return rSum（a，n-1）+ a[n-1];
    return O;
}

例2-4 考虑程序1-31的函数rSum。假定实例特征为n。递归栈空间包括形式参数a和n以及返回地址的空间。对于a，需要保留一个指针（4字节），而对于n则需要保留一个int类型的值（也是4字节）。如果假定返回地址也是4字节，那么每一次递归调用需要12字节的栈空间。因为递归深度是n+1，所以递归栈空间需要12（n+1）字节。因此S_rsum(n)= 12（n+1）。(此处求的是可变部分)。

2.3 时间复杂度

2.3.1 时间复杂度的组成

一个程序P所需要的时间是编译时间和运行时间之和。编译时间与实例特征无关。一个编译过的程序可以运行若干次而不需要重新编译。因此我们将主要关注程序的运行时间。运行时间通常用以下式子来表示：
$$t_p（实例特征）$$

2.3.2 操作计数

估算一个程序或函数的时间复杂度，一种方法是选择一种或多种关键操作，例如加、乘、比较等，然后确定每一种操作的执行次数。使用这种方法成功与否取决于是否能够找到耗时最大的操作。

//程序2-4 利用Horner法则的多项式计算
template<class T>
T horner（T coeff[], int n, const T&x）		
{//计算n阶多项式在点x处的值，系数为coeff[0：n]
	T value = coeff[n];
	for (int i= 1; i <= n; i++)
		value = value * x + coeff[n - i]; 
	return value;
}

程序2-4的时间复杂度是n次加法和n次乘法，所以其运行时间近似为：
$$加法运行时间\ast n+乘法运行时间\ast n$$

2.3.3最好、最坏和平均操作计数

//程序2-1 顺序查找
template<class T>
int sequentialSearch（T a[], int n, const T& x）
{//在数组 a[0：n-1]中查找元素x
//如果找到，则返回该元素的位置，否则返回-1
	int i;
	for(i = 0；i <n && a[i] != x；i++);
	if(i = n) return -1;
	else return i;
}

对程序2-1的顺序查找函数，我们要确定x与数组元素之间的比较次数。我们自然地把n作为实例特征。可是比较次数不是由n唯一确定的。例如，如果n=100 且 x=a[0]，那么仅需要一次比较。如果x不在数组中，则需要100次比较。若x属于a，则查找成功，否则查找不成功。查找不成功时的比较次数都是n。如果查找成功，则最少比较1次，最多比较n次。为了计算平均比较次数，我们假设所有数组元素都不相同，但每个元素被查找的概率都相同。这时，查找成功的平均比较次数如下：
$$\frac{1}{n}\sum _{i=0}^{n}i=\frac{n+1}{2}$$

2.3.4 步数

2.3.4.1 定义

用操作计数方法来估算程序的时间复杂度时，都是针对选定的操作，而忽视了其他的操作。在步数（step-count）方法中，将对程序/函数的所有操作部分都进行统计。与操作计数一样，步数也是实例特征的函数。任何一个具体的实例都可能有若干个特征（例如输入个数、输出个数、输入和输出的大小），但是步数是特征的一个子集的函数。通常我们选择的特征都是我们感兴趣的特征。例如，如果我们想知道，程序的运行时间（即时间复杂度）如何随着输入个数的增加而增加，那么就把步数仅看成是输入个数的函数。

因此，要确定一个程序的步数，必须先确定所要采用的实例特征。

**一步（a step）**是一个计算单位，它独立于所选定的实例特征。

**定义2-1[程序步]**一个程序步（a program step）可以大概地定义为一个语法或语义上的程序片段，该片段的执行时间独立于实例特征。一个程序步所表示的计算量可能与另一个程序步所表示的计算量不同。

2.3.4.2 计算程序或函数的步数

方法1

为了确定一个程序或函数的步数，可以创建一个初始值为0的全局变量stepCount。把这个变量的增值语句嵌入原程序，每当原程序或原函数的一条语句执行一次，stepCount的值就增1。当程序或函数运行结束时，stepCount的值便是程序步数。

分析递归函数的步数时，可以得到递推方程。

//程序2-18 计算程序1-31的程序步数
template<class T>
T rSum（T a[]，int n）
{//返回数组元素a[0：n-1]的和
    stepCount++;//if 语句是一个程序步
    if(n > 0)
    {
   		stepCount++;//return 语句和调用语句是一个程序步
    	return rSum(a，n-l)+ a[n-1];
    }    	
    //return 语句是一个程序步
    stepCount++;
	return 0;
}

方法2

如果不想嵌入stepCount的增值语句，可以建立一张表，列出每条语句的总步数。为此，首先要确定每条语句每次执行所需要的步数（s/e，steps per execution），以及该语句总的执行次数，即频率（frequency）。然后把这两个数据相乘，便得到每条语句的总步数。最后把所有语句的总步数加在一起便得到整个程序的步数。这种方法称为剖析法(profiling)。