聚类分析的基本概念和方法

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前言

  此文章主要讲解聚类分析的基本概念和方法，参考的内容是《数据挖掘概念与技术》Jiawei Han  Micheline Kamber  Jian Pei 著。

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一、什么是聚类分析

  聚类分析： 是把一个数据对象划分成子集的过程，每个子集是一个簇，满足一下两点：

• 簇中对象彼此相似。
• 簇间对象彼此相异。

说到了聚类分析，就离不开无监督学习：没有预先定义的类
  聚类分析典型的应用：

• 作为洞悉数据分布的独立工具。
• 作为其他算法的预处理步骤。

1、聚类分析基本流程与步骤

  1、特征选择:

• 选择跟任务相关的信息。
• 最小化信息冗余。

  2、邻近性度量：两个特征向量的相似性。
  3、聚类准则：通过成本函数或一些规则表示。
  4、聚类算法：选择聚类算法。
  5、聚类评估：验证测试。
  6、结果解释：集成在应用中。

2、 什么是好的聚类方法

  一个好的聚类方法可以产生高质量的簇：

• 高类内相似性，簇内的内聚性。
• 低类间相似性，簇间区别。

  聚类方法的质量取决于：

• 该方法采用的相似度量和它的实现。
• 它能够发现一些或所有隐藏的模式。

说白了，就是把数据集分成几个子集，越容易区分越好。

3、聚类的模型评估

  相似性度量：

• 相似性度量通常用距离表示：d(i, j).
• 不同类型的数据（布尔值、分类、序数比、向量变量），距离函数存在很大的差异。
• 根据应用和数据语义，权重应该与不同的变量相关联。

  聚类质量：

• 通常有一个单独的 “质量” 函数来度量簇的 “质量”。
• 很难定义 “足够相似” 和 “足够好”，答案通常都是非常主管的。

4、聚类分析的比较

  划分标准：单层分区与分层分区（通常多级分层分区更容易描述）。
  簇的分离性：排他性（一个客户只属于一个区域）与非排他性（一个文档可能属于多个类）。
  相似性度量：基于距离的（欧几里得，曼哈顿、切比雪夫），基于联通的（密度或连通性）。
  聚类空间：全空间（通常在低纬度）与子空间（通常在高纬度集群中）

5、聚类分析的挑战

  可伸缩性：对多有数据进行聚类，而不是对样本聚类。
  能够处理不同类型的属性：数值的、二元的、序数的。
  基于约束的聚类：用户可以输入约束条件，使用领域知识确定输入参数。
  用于决定输入参数的领域知识最小化。可解释性和可应用性强。
  其他：发现具有任意形状的簇，能够处理有噪声的数据，增量聚类和对输入顺序不敏感，高纬度数据。

二、基本聚类方法概述

  划分方法：构造不同的分区，然后根据一些标准对他们进行评估。典型的方法有：K-means,K-中心点，CLARANS.
  层次方法：使用一些标准对数据集分层。典型的方法：Diana,Agnes,BIRCH,CAMELEON.
  基于密度的方法：基于连通性和密度函数。典型方法：DBSCAN,OPTICS,DenClue.
  基于网络的方法：基于多粒度结构。典型的方法：STING,WaveCluster,CLIQUE

方法	一般特点
划分方法	①发现球形互斥的簇 ②基于距离 ③可以使用均值或中心点等代表簇中心 ④对中小数据规模有效
层次方法	①聚类是一个层次分解 ②不能纠正错误的合并或划分 ③可以集成其他技术，如微聚类或考虑对象链接
基于密度方法	①可以发现任意形状的簇 ②簇是对象空间中被低密度区域分隔的稠密区域 ③簇密度：每个点的邻域内必须具有多少个点（阈值点）④可能过滤离群点
基于网络的方法	①使用一种多分辨率网格数据结构 ②快速处理（典型地，独立于数据对象，但依赖于网格大小）

三、划分算法

1、基本概念

  划分方法：将一个包含 n 个对象的数据集 D 划分成 k 个簇。使距离平方和最小化（$c_i$ 是簇$c_i$ 的中心或质心）
$$E=\sum _{i=1}^k{\Sigma }_{p\in C_i}{\left(d\left(p,c_i\right)\right)}^2$$
  给定 k，根据选定的划分标准找出最优的 k 个簇。

• 全局最优（Global optimal）: 枚举所有的划分。
• 启发式方法（Heuristic methods）:K-means,K-medoids算法。
• K-means:每个簇用簇中心表示。
• K-medoids：每个簇用接近聚类中心的对象表示。

2、k-means 聚类方法

  k-means 算法分成四个步骤：

1. 首先输入 k 的值，即具有 n 个对象的数据集 D = { o 1 , o 2 , . . . , o n } D=\{o_1,o_2, ... ,o_n\} D={o1​,o2​,...,on​} 经过聚类将得到 k 个分类或者分组。
2. 从数据集中随机选择 k 个对象作为簇质心，每个簇质心代表一个簇，得到的簇质心集合为 C e n t r o i d = { c 1 , c 2 , . . . , c k } Centroid=\{c_1,c_2, ... ,c_k\} Centroid={c1​,c2​,...,ck​}。
3. 对 D 中每一个对象 $o_i$,计算 $o_i$ 与 $c_i$ 的距离，得到一组距离值，选择最小距离值的簇质心 $c_s$ .将对象 $o_i$ 划分给 $c_s$ 簇。
4. 根据每个簇所包含的对象集合，重新计算簇中所有对象的平均值得到一个新的质心，重复步骤 3 和 4.直到簇的质心不在变化。

1、k-means 方法的优缺点

  优点：

• 擅长处理球状分布的数据，当结果聚类是密集的，而且类和类直接的区别比较明显时，k-means 算法的效果较好。
• 对于处理大数据集，是相对可伸缩和高效的，复杂度是 O(nkt), n 是对象个数，k 是簇的数目，t 是迭代的次数。
• 相比较其他的算法简单，容易掌握。

  缺点：

• 需要预先指定集群的数量 k （有自动确定 k 最佳的方法）
• 对噪声和离群点敏感。
• 不适合发现非凸形状的簇。

2、k-means 方法的变种

  大多数 k-means 方法的变种在于以下几个方面;

• 初始 k 平均值的选择。
• 相异度的计算。（距离公式）
• 计算聚类平均值的策略。（中心点）

处理分类数据 k-众数:

• 用众数代替聚类的平均值。
• 使用新的相异性度量方法来处理分类对象。
• 用基于频率的方法来更新聚类的众数。
• k-prototype:一种混合处理分类数据和数值数据的方法。

注意：k-means 算法对孤立点很敏感：均值由于极大值的对象可能会严重的扭曲数据的分布。

3、k-中心聚类方法

  k-medoids(k-中心) ：不采用簇中对象的平均值作为参照点，而是选用簇中位置最中心的对象最为参照点，也就是簇中心肯定是一个对象。
  k-中心 基本思想：

1. 首先为每个簇随意选择一个代表对象；剩余的对象根据其与代表对象的距离分配给最近的一个簇。
2. 反复地使用非代表对象来替代代表对象，以改进聚类的质量。
3. 聚类结果的质量用一个代价函数来估算，该函数评估了对象与其参照对象之间的平均相异度。

PMA (Partitioning Around Medoids,1987)就是利用上述方法，它对于较小的数据集非常有效，但不能很好的扩展到大型数据集。

1.判定原则

  为了判定一个非代表对象 $O_{random}$ 是否是当前一个代表对象 $O_j$ 的好的代替，对于每一个非代表对象 p,考虑以下四种情况：

• 第一种情况：p 当隶属于代表对象 $O_j$.如果 $O_j$ 被 $O_{random}$ 所代替，且 p 离 $O_i$ 最近，i ≠ j,那么 p 被重新分给 $O_i$。老大跑远了，投靠最近的强势势力。这里就等于叛变了。
• 第二种情况：p 当隶属于代表对象 $O_j$.如果 $O_j$ 被 $O_{random}$ 所代替，且 p 离 $O_j$ 最近，那么 p 被重新分给 $O_{random}$。部落换了一个首领，变成老大的儿子，对象离家近，任然属于这个部落，只不过老大换了人。
• 第三种情况：p 当隶属于代表对象 $O_i$.如果 $O_j$ 被 $O_{random}$ 所代替，且 p 任然离 $O_i$ 最近，i ≠ j,那么 p 隶属关系不改变。
• 第四种情况：p 当隶属于代表对象 $O_i$.如果 $O_j$ 被 $O_{random}$ 所代替，且 p 任然离 $O_j$ 最近，i ≠ j,那么 p 被重新分配给$O_{random}$。

2、步骤

  算法 k-中心：

1. 随机选择 k 个对象作为初始的代表对象。
2. repeat:
   1. 指派每个剩余的对象给离它最近的代表对象所代表的簇。
   2. 随意的选择一个非代表对象 $O_{random}$.
   3. 计算用 $O_{random}$ 代替 $O_j$ 的总代价 S.
   4. 如果 S 小于 0,则使用 $O_{random}$ 替换 $O_j$,形成新的代表对象的集合。
3. Utill:不发生变化。

层次聚类

  使用距离矩阵作为聚类准则。这个方法不需要簇 k 的数量作为输入，但是需要一个终止条件。

上图就是 AGNES 算法和 DIANA 算法简略图，这个不作为重点学习，需要了解的请查阅别处资料。

4、 密度聚类（重点DBSCAN）

1、基于密度聚类的基本概念

  两大参数：

• Eps: 邻域的最大面积。
• MinPts: 该点一个最大半径邻域内的最少点数。

  $N_{Eps}$ : { P 属 于 数 据 集 D   ∣   d i s t ( p , q ) ≤ E p s } \{P 属于数据集 D\space | \space dist(p,q)\leq Eps\} {P属于数据集D ∣ dist(p,q)≤Eps} ,给定对象半径为 Eps 内的区域称为该对象的 E 邻域。
  核心对象：如果给定对象 E 邻域内的样本点数大于或者等于 MinPts, 该对象为核心对象。
  直接密度可达：对于样本集合 D,如果样本点 p 在 q 的 E 邻域内，并且 q 为核心对象，那么对象 p 从对象 q 直接密度可达。

  密度可达：对于样本集合D, 给定一串样本点 p1, p2, … ,pn, p = p1, q = pn, 假如 pi 从 pi-1 直接密度可达，那么对象 q 到对象 p 密度可达。传递性。

  密度相连：对于样本集合 D 种一点 o,如果对象 o 到对象 p 和对象 q 都是密度可达的，那么 p 和 q 密度相连。也就是在密度可达中间加了一个对象，传递得更远而已。我们通过这种传递性，可以更好的聚类。

  DBSCAN 应用：依赖于基于密度的簇概念，簇被定义为密度连接点的最大集合。在有噪声的空间中发现任意形状的簇。

2、DBSCAN 算法逻辑

1. 任意选择一个样本点 p。
2. 基于半径和最小点数检索所有密度可及的点。
3. 如果 p 是一个核心点，则形成一个簇。
4. 如果 p 是一个边界点，那么 p 上没有一个密度可达的点，DBSCAN 访问下一个点。
5. 继续这个过程，直到处理完所有的点。
6. 如果使用空间索引，DBSCAN 的计算复杂度为 $O(nlogn)$,其中 n 是数据集中数据对象的数量，否则，时间复杂度为 $O(n^2)$.

  DBSCAN 伪代码：

心得

  介绍了聚类里面基础的知识和几个三个经典的聚类算法。这只是一种认识，希望可以带来入门级的理解，需要熟练掌握的话要多用。对于机器学习的友友们，算法的基本流程可能不能满足你们，实现出来或者要看清怎么实现的具体细节还需要自己去哔站搜索。算法是美丽的，过程简单，实现简单，关键要我们怎么开拓思维。好的数学功底，编程能力，语言组织（怎么转换成数学语言，怎么讲清刚认识的算法）都是干我们这行所具备的。模仿吧，模仿多了直到那些人的作品不好，再往后面知道怎么改造形成自己喜欢的风格，最后就是你自己的了。