一【题目类别】

数组

二【题目难度】

困难

三【题目编号】

37.解数独

四【题目描述】

编写一个程序，通过填充空格来解决数独问题。
数独的解法需遵循如下规则：
数字 1-9 在每一行只能出现一次。
数字 1-9 在每一列只能出现一次。
数字 1-9 在每一个以粗实线分隔的 3x3 宫内只能出现一次。（请参考示例图）
数独部分空格内已填入了数字，空白格用 ‘.’ 表示。

五【题目示例】

示例 1：
- 输入：board = [[“5”,“3”,“.”,“.”,“7”,“.”,“.”,“.”,“.”],[“6”,“.”,“.”,“1”,“9”,“5”,“.”,“.”,“.”],[“.”,“9”,“8”,“.”,“.”,“.”,“.”,“6”,“.”],[“8”,“.”,“.”,“.”,“6”,“.”,“.”,“.”,“3”],[“4”,“.”,“.”,“8”,“.”,“3”,“.”,“.”,“1”],[“7”,“.”,“.”,“.”,“2”,“.”,“.”,“.”,“6”],[“.”,“6”,“.”,“.”,“.”,“.”,“2”,“8”,“.”],[“.”,“.”,“.”,“4”,“1”,“9”,“.”,“.”,“5”],[“.”,“.”,“.”,“.”,“8”,“.”,“.”,“7”,“9”]]
- 输出：[[“5”,“3”,“4”,“6”,“7”,“8”,“9”,“1”,“2”],[“6”,“7”,“2”,“1”,“9”,“5”,“3”,“4”,“8”],[“1”,“9”,“8”,“3”,“4”,“2”,“5”,“6”,“7”],[“8”,“5”,“9”,“7”,“6”,“1”,“4”,“2”,“3”],[“4”,“2”,“6”,“8”,“5”,“3”,“7”,“9”,“1”],[“7”,“1”,“3”,“9”,“2”,“4”,“8”,“5”,“6”],[“9”,“6”,“1”,“5”,“3”,“7”,“2”,“8”,“4”],[“2”,“8”,“7”,“4”,“1”,“9”,“6”,“3”,“5”],[“3”,“4”,“5”,“2”,“8”,“6”,“1”,“7”,“9”]]
- 解释：输入的数独如上图所示，唯一有效的解决方案如下所示：

六【解题思路】

此题有难度，但是还是回溯的思想。回溯算法的模板如下：

void backTracking(参数)
{
	if(终止条件)
	{
		保存结果;
		return;
	}
	for(遍历从当前位置出发的所有“路径”)
	{
		保存“路径”节点;
		backTracking(所需参数);
		回溯处理，删除上一步保存的“路径”节点，准备进行新的递归
	}
}

有了以上模板，我们只需要往里面填入解决这道题所需的“工具”，首先有几个定义我们要清楚：
- row[i][digit]：表示digit这个数字出现在了第i行
- col[j][digit]：表示digit这个数字出现在了第j列
- block[i][j][dight]：表示digit这个数字出现在了第i、j块
- valid：表示是否应该结束递归
- spaces：存储需要填入数字的位置
首先遍历整个二维数组，当我们遍历到某个位置：
- 如果此位置是“.”：说明需要填入数字，那么将此位置存入spaces，准备填入数字
- 如果此位置是数字：那将此行、此列和此块对应这个数字都置为true，也就是不能再出现这个数字了
然后进入递归算法，这里面就简单了，就是上面模板写的过程，只需要判断当前数字是否出现在此行、此列和此块即可
此外还需要注意真正的数字和数组下标之间的关系
其他细节可以参考代码
最后不需要返回值

七【题目提示】

$b o a r d . l e n g t h = = 9$
$b o a r d [i] . l e n g t h = = 9$
$b o a r d [i] [j] 是一位数字或者^{'} .^{'}$
$题目数据保证输入数独仅有一个解$

八【时间频度】

时间复杂度： $O (n)$ ，其中 $n$ 为输入数组的行数/列数
空间复杂度： $O (1)$

九【代码实现】

Java语言版

package Array;

import java.util.ArrayList;
import java.util.List;

/**
 * @Author: IronmanJay
 * @Description: 37.解数独
 * @CreateTime: 2022-11-26  09:36
 */
public class p37_SudokuSolver {

    public static void main(String[] args) {
        char[][] board = {{'5', '3', '.', '.', '7', '.', '.', '.', '.'}, {'6', '.', '.', '1', '9', '5', '.', '.', '.'}, {'.', '9', '8', '.', '.', '.', '.', '6', '.'}, {'8', '.', '.', '.', '6', '.', '.', '.', '3'}, {'4', '.', '.', '8', '.', '3', '.', '.', '1'}, {'7', '.', '.', '.', '2', '.', '.', '.', '6'}, {'.', '6', '.', '.', '.', '.', '2', '8', '.'}, {'.', '.', '.', '4', '1', '9', '.', '.', '5'}, {'.', '.', '.', '.', '8', '.', '.', '7', '9'}};
        solveSudoku(board);
    }

    private static boolean[][] row = new boolean[9][9];
    private static boolean[][] col = new boolean[9][9];
    private static boolean[][][] block = new boolean[3][3][9];
    private static boolean valid = false;
    private static List<int[]> spaces = new ArrayList<int[]>();

    public static void solveSudoku(char[][] board) {
        for (int i = 0; i < 9; i++) {
            for (int j = 0; j < 9; j++) {
                if (board[i][j] == '.') {
                    spaces.add(new int[]{i, j});
                } else {
                    int digit = board[i][j] - '0' - 1;
                    row[i][digit] = true;
                    col[j][digit] = true;
                    block[i / 3][j / 3][digit] = true;
                }
            }
        }
        dfs_back_p37_SudokuSolver(board, 0);
    }

    public static void dfs_back_p37_SudokuSolver(char[][] board, int pos) {
        if (pos == spaces.size()) {
            valid = true;
            return;
        }
        int[] space = spaces.get(pos);
        int i = space[0];
        int j = space[1];
        for (int digit = 0; digit < 9 && !valid; digit++) {
            if (!row[i][digit] && !col[j][digit] && !block[i / 3][j / 3][digit]) {
                row[i][digit] = true;
                col[j][digit] = true;
                block[i / 3][j / 3][digit] = true;
                board[i][j] = (char) (digit + '0' + 1);
                dfs_back_p37_SudokuSolver(board, pos + 1);
                row[i][digit] = false;
                col[j][digit] = false;
                block[i / 3][j / 3][digit] = false;
            }
        }
    }

}

C语言版

#include<stdio.h>
#include<stdlib.h>
#include<stdbool.h>

bool row[9][9];
bool col[9][9];
bool block[3][3][9];
bool valid;
int* spaces[81];
int spaceSize;

void dfs_back_p37_SudokuSolver(char** board, int pos)
{
	if (pos == spaceSize)
	{
		valid = true;
		return;
	}
	int i = spaces[pos][0];
	int j = spaces[pos][1];
	for (int digit = 0; digit < 9 && !valid; digit++)
	{
		if (!row[i][digit] && !col[j][digit] && !block[i / 3][j / 3][digit])
		{
			row[i][digit] = true;
			col[j][digit] = true;
			block[i / 3][j / 3][digit] = true;
			board[i][j] = digit + '0' + 1;
			dfs_back_p37_SudokuSolver(board, pos + 1);
			row[i][digit] = false;
			col[j][digit] = false;
			block[i / 3][j / 3][digit] = false;
		}
	}
}

void solveSudoku(char** board, int boardSize, int* boardColSize)
{
	memset(row, false, sizeof(row));
	memset(col, false, sizeof(col));
	memset(block, false, sizeof(block));
	valid = false;
	spaceSize = 0;
	for (int i = 0; i < 9; i++)
	{
		for (int j = 0; j < 9; j++)
		{
			if (board[i][j] == '.')
			{
				spaces[spaceSize] = malloc(sizeof(int) * 2);
				spaces[spaceSize][0] = i;
				spaces[spaceSize++][1] = j;
			}
			else
			{
				int digit = board[i][j] - '0' - 1;
				row[i][digit] = true;
				col[j][digit] = true;
				block[i / 3][j / 3][digit] = true;
			}
		}
	}
	dfs_back_p37_SudokuSolver(board, 0);
}

/*主函数省略*/