文章目录
- 【参考】
- 【问题描述】
- 求解一元三次方程
- 【代码实现】
- 现成的包 cardano_method
- 根据公式编写求解代码
- 【总结】
【参考】
- 用Cardano方法求解三次方程介绍
- cardano方法求解
- 下载cardano方法包
- x^3+1=0求解问题、三次方程反函数问题
- Micorsoft-Math-solver 微软数学工具
- WolframAlpha: inverse of a function/反函数
- 百度百科-一元三次方程求根公式
【问题描述】
求解一元三次方程
求解一元三次方程：
a
x
3
+
b
x
2
+
c
x
+
d
=
0
ax^3+bx^2+cx+d=0
ax3+bx2+cx+d=0
求解有多种方法，其中Cardano方法得到的解为：
一元三次多项式： y = f ( x ) = a x 3 + b x 2 + c x + d y=f(x)=ax^3+bx^2+cx+d y=f(x)=ax3+bx2+cx+d => a x 3 + b x 2 + c x + d − y = 0 ax^3+bx^2+cx+d-y=0 ax3+bx2+cx+d−y=0
【代码实现】
现成的包 cardano_method
- 可以使用python包：安装
cardano_method【参考这里】
该包的使用：pip install cardano_methodCubicEquation函数对应第一个参数列表是：[a, b, c, d]，即求解方程的各系数。
但是发现一个问题：解方程 x 3 + 1 = 0 x^3+1=0 x3+1=0时，居然报错分母是0：from cardano_method.cubic import CubicEquation a = CubicEquation([1, 3, 4, 4]) print(a.answers) # j表示虚部后缀 # [(-2+0j), (-0.5+1.322875j), (-0.5-1.322875j)] print(a.answers[0].real) # 获取第一个解的实部 print(a.answers[0].imag) # 获取第一个解的虚部ZeroDivisionError。a = CubicEquation([1, 0, 0, 1])
但实际上， x 3 + 1 = 0 x^3+1=0 x3+1=0的解是对应： x 1 = − 1 x_1=-1 x1=−1, x 2 = 1 2 + 3 2 i x_2=\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}i x2=21+23i, x 3 = 1 2 − 3 2 i x_3=\frac{1}{2}-\frac{\sqrt{3}}{2}i x3=21−23i（这里 i i i表示虚数）。需要详细看下包中bug如何解决？
根据公式编写求解代码
-
可以根据对应解的公式写出求解函数：【注意：关于浮点型计算有问题？】
def cardano_solution_v0(a, b, c, d): ab = -b/float(3*a) q = (3*a*c-(b**2)) / (9*(a**2)) r = (9*a*b*c-27*(a**2)*d-2*(b**3)) / (54*(a**3)) delta_sqrt = (q**3+r**2)**(1.0/2) s = (r+delta_sqrt)**(1.0/3) t = (r-delta_sqrt)**(1.0/3) imag = complex(0, (s-t)*(3**(1.0/3))/2) x1 = s+t+ab x2 = -(s+t)/2+ab+imag x3 = -(s+t)/2+ab-imag return x1, x2, x3测试修改保留浮点，还是有问题，跟
cardano_method包的结果对不上？？？【注：cardano_solution_v0和cardano_solution_v1都有问题，正确的解见下方函数：cardano_solution】def round_ri(xo, n=4): xr, xi = round(xo.real, n), round(xo.imag, n) if xi == 0: return xr else: return complex(xr, xi) def cardano_solution_v1(a, b, c, d): ab = -b/float(3*a) q = (3*a*c-(b**2)) / (9*(a**2)) r = (9*a*b*c-27*(a**2)*d-2*(b**3)) / (54*(a**3)) delta_sqrt = round((q**3+r**2)**(1.0/2), 4) # print("r, delta_sqrt:", r, delta_sqrt, round(r-delta_sqrt, 4)) s = round((r+delta_sqrt)**(1.0/3), 8) t = round(r-delta_sqrt, 4)**(1.0/3) print("st,ab:", s, t, ab) imag = complex(0, (s-t)*(3**(1.0/3))/2) x1 = s+t+ab x2 = -(s+t)/2+ab+imag x3 = -(s+t)/2+ab-imag return round_ri(x1), round_ri(x2), round_ri(x3)是公式本身写的有误？还是浮点/开根号问题？需要再检查。。。
-
测试其他公式： 百度百科-一元三次方程求根公式
这里是说，一元三次方程的系数是复数时，用Cardano公式有问题（什么问题？），旧使用如下通用的求根公式：
def cardano_solution(a, b, c, d): #u = round((9*a*b*c-27*(a**2)*d-2*(b**3)) / (54*(a**3)), 4) #v = round(3*(4*a*c**3 - b**2*c**2-18*a*b*c*d+27*a**2*d**2+4*b**3*d) / (18**2*a**4), 4) ** (1.0/2) u = (9*a*b*c-27*(a**2)*d-2*(b**3)) / (54*(a**3)) v = (3*(4*a*c**3 - b**2*c**2-18*a*b*c*d+27*a**2*d**2+4*b**3*d) / (18**2*a**4)) ** (1.0/2) if abs(u+v) >= abs(u-v): m = (u+v) ** (1.0/3) else: m = (u-v) ** (1.0/3) if m == 0: n == 0 else: n = (b**2-3*a*c) / (9*a**2*m) # w = complex(0, -0.5+(3/4)**(1.0/2)) # w2 = complex(0, -0.5-(3/4)**(1.0/2)) w = -0.5+(-3/4)**(1.0/2) w2 = -0.5-(-3/4)**(1.0/2) ab = -b/float(3*a) x1 = m+n+ab x2 = w*m+w2*n+ab x3 = w2*m+w*n+ab # return x1, x2, x3 return round_ri(x1), round_ri(x2), round_ri(x3)测试结果
cardano_solution和cardano_method包可以对上，且求解 x 3 + 1 = 0 x^3+1=0 x3+1=0 没有问题：print(cardano_solution(1,3,4,4)) print(cardano_solution(1,0,0,-1)) print(cardano_solution(1,0,0,1)) # ((-0.5+1.3229j), -2.0, (-0.5-1.3229j)) # (1.0, (-0.5+0.866j), (-0.5-0.866j)) # ((0.5+0.866j), -1.0, (0.5-0.866j)) print(CubicEquation([1,3,4,4]).answers) print(CubicEquation([1,0,0,-1]).answers) print(CubicEquation([1,0,0,1]).answers) # 报错 # [(-2+0j), (-0.5+1.322875j), (-0.5-1.322875j)] # [(1+0j), (-0.5+0.866025j), (-0.5-0.866025j)] # ZeroDivisionError ...
【总结】
- 根据公式自己编写的函数
cardano_solution可求解一元三次方程。 - 下载的包
cardano_method和直接使用Cardano公式写的函数有问题。原因是？
附： python 获取复数的实部和虚部。使用j后缀表示虚数，比如a+bj中，a是实部，b是虚部，python中用complex(a,b)生成一个复数。
x = 2+1.5j
print(x.real) # 打印实部：2
print(x.imag) # 打印虚部：2
x1 = complex(2,1.5) # 使用`complex`生成复数 2+1.5j
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