P10576 [蓝桥杯 2024 国 A] 儿童节快乐

题目描述

五彩斑斓的气球在蓝天下悠然飘荡，轻快的音乐在耳边持续回荡，小朋友们手牵着手一同畅快欢笑。在这样一片安乐祥和的氛围下，六一来了。

今天是六一儿童节，小蓝老师为了让大家在节日里享受解题的乐趣，特地准备了一道有趣的题目。

题目内容为：求出所有满足以下条件的整数 $n$ 的总和：

1. $(n+10120300500)$ 是一个完全平方数。
2. $(n-10120300500)$ 也是一个完全平方数。

一个数如果可以表示为另一个整数的平方，那么这个数就叫做完全平方数。例如，$4$ 可以表示为 $2$ 的平方，$9$ 可以表示为 $3$ 的平方，因此 $4$ 和 $9$ 都是完全平方数。

请大家用心仔细地思考，求出答案。同时祝大家儿童节快乐，解题过程开心顺遂！

输入格式

这是一道结果填空题，你只需要算出结果后提交即可。本题的结果为一个整数，在提交答案时只填写这个整数，填写多余的内容将无法得分。

输出格式

这是一道结果填空题，你只需要算出结果后提交即可。本题的结果为一个整数，在提交答案时只填写这个整数，填写多余的内容将无法得分。

题解

• 本题官方判题机有误，真实答案已经超过 longlong 范围，请使用洛谷判题机

• 思路

  • 设 $k=10120300500$

  • 容易想到从 $1$ 开始枚举 $n$，看看有多少个 $n$ 满足这样的条件，并累计，但经过测试，即使枚举到 $10^9$，枚举到 $10^{10}$ 还是有新的 $n$ 满足条件，因此边界无法确定

  • 观察题目所给的两个式子
    $$n+k=a^2\text{\hspace{1em}(1)}$$

    $$n-k=b^2\text{\hspace{1em}(2)}$$

    • 可以看出，$(1)-(2)=a^2-b^2=2k$
    • 由平方差公式可得：$(a+b)(a-b)=2k$
    • 若能求解出 $a,b$ 即可求出 $n$，$n=a^2-k=b^2+k=\frac{a^2+b^2}{2}$

  • 如何求解 $a,b$？

    • 设 $x=(a+b),y=(a-b)$，那么有 $x\times y=2k$
    • 枚举 $2k$ 的所有因子，即可求出 $x,y$
      • $2k=20240601000>10^{10}$，需要使用 $O(\sqrt{n})$ 算法枚举因子
    • 求出 $x,y$，那么 $a=\frac{x+y}{2},b=\frac{x-y}{2}$

  • longlong 能存下答案和中间结果吗？

    • 极端一些，假设 $x=k-1,y=1$，那么 $a,b\approx k/2\approx 5\times 10^9$
    • 当计算 $n$ 时，$a^2+b^2\approx 5\times 10^{19}$，longlong 的范围大概是 $9\times 10^{18}$，存储不了
    • 直接用 __int128 一步到位，输出要自定义

  • 至此，可以写出代码

    typedef __int128 Int;
    int main() {
        Int k = 10120300500;
        Int s = 2 * k;
        Int res = 0;
        for(Int x = 1; x * x <= s; ++x) {
            if(s % x == 0) {
                Int y = s / x;
                Int a = (x + y) / 2, b = (x - y) / 2;
                res += (a * a + b * b) / 2;
            }
        }
        return 0;
    }
    

  • 但是提交后发现出错了，为什么呢？

    • 观察到求解 $a,b$ 时，使用了除法，而 cpp 的除法是向零截断的，因此可能存在小数 $a,b$ 也满足条件，那么求出的 $n$ 也是一个小数，与题目要求整数不符
    • 要保证 $a,b$ 是整除得到的，那么 $x+y,x-y$ 必须是偶数

• AC 代码

  #include <bits/stdc++.h>
  using namespace std;
  
  typedef __int128 Int;
  
  void output(Int num) {
      char buf[50] = {0};
      int i = 0;
      while(num) {
          buf[i++] = '0' + num % 10;
          num /= 10;
      }
      for(int j=i-1; j>=0; --j) cout << buf[j];
  }
  
  int main() {
      Int k = 10120300500;
      Int s = 2 * k;
      Int res = 0;
      for(Int x = 1; x * x <= s; ++x) {
          if(s % x == 0) {
              Int y = s / x;
              if((x + y) % 2 == 0 && (x - y) % 2 == 0) {
                  Int a = (x + y) / 2, b = (x - y) / 2;
                  res += (a * a + b * b) / 2;
              }
          }
      }
      output(res);
      return 0;
  }