n皇后问题的 C++ 回溯算法教学攻略

news2025/6/7 19:45:57

一、问题描述

n皇后问题是经典的回溯算法问题。给定一个 n×n 的棋盘，要求在棋盘上放置 n 个皇后，使得任何两个皇后之间不能互相攻击。皇后可以攻击同一行、同一列以及同一对角线上的棋子。我们需要找出所有的合法放置方案并输出方案数。

二、输入输出形式

输入形式

输入一个整数 n，表示皇后的个数和棋盘的大小（n×n）。

输出形式

输出所有的合法放置方案，每个方案占一行，皇后所在的列号用空格分隔。最后输出方案的总数。

三、样例输入输出

样例输入

4

样例输出

复制

2 4 1 3
3 1 4 2
2

四、算法分析与设计

1. 回溯算法

n皇后问题适合使用回溯算法解决。回溯算法通过递归尝试所有可能的解，当发现当前路径无法得到合法解时，会回溯到上一步，尝试其他可能性。

2. 状态表示

board：一个一维数组，其中 board[i] 表示第 i 行皇后所在的列。
solutions：一个二维数组，存储所有合法的解决方案。

3. 算法步骤

递归放置皇后：从第一行开始，尝试将皇后放置在每一列，并检查是否与之前放置的皇后冲突。
冲突检查：对于每一列，检查是否与之前行的皇后在同一列或同一对角线上。
记录解决方案：当放置完所有行的皇后时，将当前 board 状态记录为一个解决方案。
输出解决方案：遍历所有解决方案并输出。

五、代码实现

#include <iostream>
#include <vector>
#include <algorithm>

using namespace std;

int n;
vector<int> board; // 存储每一行皇后所在的列，board[i] 表示第 i 行皇后所在的列
vector<vector<int>> solutions; // 存储所有解决方案

void solve(int row) {
    if (row == n) {
        solutions.push_back(board);
        return;
    }

    for (int col = 0; col < n; col++) {
        // 检查是否可以放置皇后
        bool valid = true;
        for (int i = 0; i < row; i++) {
            // 检查同一列和对角线是否已有皇后
            if (board[i] == col || abs(i - row) == abs(board[i] - col)) {
                valid = false;
                break;
            }
        }

        if (valid) {
            board[row] = col;
            solve(row + 1);
        }
    }
}

void printSolutions() {
    for (const auto& solution : solutions) {
        for (int col : solution) {
            cout << col + 1 << " "; // 输出列号加 1
        }
        cout << endl;
    }
    cout << solutions.size() << endl;
}

int main() {
    cin >> n;
    board.resize(n);
    solve(0); // 从第 0 行开始放置
    printSolutions();
    return 0;
}