LORA的核心思想基准模型不进行变化，我额外引入一部分参数来做专属内容处理，同时加上原有模型的推理能力，这部分新增加的的内容就是要训练出来的参数矩阵。

本征维度（Intrinsic Dimension）：是指数据或空间中所需的最小维度，以便充分描述其中的结构或特征。换句话说，尽管数据可能存在于高维空间中，但其实际所包含的信息可能集中在一个更低维度的子空间内，本征维度就是描述这个低维子空间的维度。 

比如一个3*3的矩阵，可以表是成一个1*3的矩阵和3*1的矩阵的乘积，这里原本9个参数就变成了6个参数。节约了参数空间，由此，可以把上面的新增矩阵变成矩阵A和矩阵B的乘积。

lora配置

矩阵A和矩阵B分别为正态分布矩阵和一个全为零的矩阵。

• A正态分布，B零矩阵：
  ΔW = A×B = 随机矩阵×零矩阵 = 零矩阵。
  初始阶段模型行为不变，不干扰预训练权重，训练从“零扰动”开始。

• A和B均零矩阵：
  ΔW = 零矩阵，梯度消失，无法更新参数。

• A和B均正态分布：
  ΔW = 随机矩阵×随机矩阵，初始扰动过大，破坏预训练权重，引入噪声，收敛困难。

梯度传播的数学分析

以简单线性层为例，输入为 xx，输出为 x⋅(W+ΔW)=xW+xABx⋅(W+ΔW)=xW+xAB。
损失函数为 LL，反向传播时：

• 对B的梯度：

  ∂L∂B=AT⋅∂L∂(xAB)⋅xT∂B∂L​=AT⋅∂(xAB)∂L​⋅xT

  若B初始化为零矩阵，但A为随机正态分布，则梯度 ∂L∂B∂B∂L​ 非零，B可更新。

• 对A的梯度：

  ∂L∂A=∂L∂(xAB)⋅xT⋅BT∂A∂L​=∂(xAB)∂L​⋅xT⋅BT

  若B初始化为零，初始时 ∂L∂A=0∂A∂L​=0，但随着B的更新，A的梯度逐渐非零。

具体示例对比

示例1：A和B均初始化为零矩阵

A = torch.zeros(in_dim, rank)  # 全零
B = torch.zeros(rank, out_dim)  # 全零

• 前向传播：ΔW = A×B = 0 → 输出与原始模型一致。

• 反向传播：
  ∂L/∂B=AT⋅梯度=0  ∂B/∂L​=AT⋅梯度=0
  ∂L/∂A=梯度⋅BT=0  ∂A/∂L​=梯度⋅BT=0
  梯度消失，参数无法更新，训练停滞。

示例2：A和B均用正态分布初始化

A = torch.randn(in_dim, rank) * 0.01  # 小标准差
B = torch.randn(rank, out_dim) * 0.01

前向传播：ΔW = A×B，元素可能较大（如秩为1时，ΔW的每个元素是A和B对应行列的点积）。
例如，若A和B的元素均服从 N(0,0.012)N(0,0.012)，则ΔW的元素方差为 0.014×rank0.014×rank，当rank较大时，ΔW的扰动显著。
破坏预训练权重，模型需要重新学习，收敛困难。 

不同矩阵的作用