常见排序算法详解及其复杂度分析
排序算法是数据结构与算法学习中的基础内容，也是面试高频考点。本文将系统介绍几种常见的排序算法，包括它们的原理、时间复杂度、空间复杂度以及 Python 实现方法。
一、冒泡排序（Bubble Sort）
原理
通过多次遍历待排序序列，每次比较相邻元素并交换顺序错误的元素，每一轮都将最大（或最小）元素“冒泡”到序列末尾。
实现
def bubble_sort(arr):
n = len(arr)
for i in range(n):
for j in range(0, n-i-1):
if arr[j] > arr[j+1]:
arr[j], arr[j+1] = arr[j+1], arr[j]
复杂度
- 时间复杂度：O(n²)
- 空间复杂度：O(1)
- 稳定性：稳定
二、选择排序（Selection Sort）
原理
每次从未排序部分选择最小（或最大）元素，放到已排序部分的末尾。
实现
def selection_sort(arr):
n = len(arr)
for i in range(n):
min_idx = i
for j in range(i+1, n):
if arr[j] < arr[min_idx]:
min_idx = j
arr[i], arr[min_idx] = arr[min_idx], arr[i]
复杂度
- 时间复杂度：O(n²)
- 空间复杂度：O(1)
- 稳定性：不稳定
三、插入排序（Insertion Sort）
原理
将未排序元素插入到已排序序列的合适位置。
实现
def insertion_sort(arr):
n = len(arr)
for i in range(1, n):
key = arr[i]
j = i - 1
while j >= 0 and arr[j] > key:
arr[j+1] = arr[j]
j -= 1
arr[j+1] = key
复杂度
- 时间复杂度：O(n²)
- 空间复杂度：O(1)
- 稳定性：稳定
四、归并排序（Merge Sort）
原理
采用分治思想，将序列递归分成两半，分别排序后合并。
实现
def merge_sort(arr):
if len(arr) <= 1:
return arr
mid = len(arr) // 2
left = merge_sort(arr[:mid])
right = merge_sort(arr[mid:])
return merge(left, right)
def merge(left, right):
result = []
i = j = 0
while i < len(left) and j < len(right):
if left[i] <= right[j]:
result.append(left[i])
i += 1
else:
result.append(right[j])
j += 1
result.extend(left[i:])
result.extend(right[j:])
return result
复杂度
- 时间复杂度：O(n log n)
- 空间复杂度：O(n)
- 稳定性：稳定
五、快速排序（Quick Sort）
原理
分治思想，选一个“基准”元素，将序列分为小于和大于基准的两部分，递归排序。
实现
def quick_sort(arr):
if len(arr) <= 1:
return arr
pivot = arr[0]
left = [x for x in arr[1:] if x < pivot]
right = [x for x in arr[1:] if x >= pivot]
return quick_sort(left) + [pivot] + quick_sort(right)
复杂度
- 平均时间复杂度：O(n log n)
- 最坏时间复杂度：O(n²)
- 空间复杂度：O(log n) ~ O(n)
- 稳定性：不稳定
六、希尔排序（Shell Sort）
原理
将序列按一定间隔分组，对每组进行插入排序，逐步缩小间隔，最后整体插入排序。
实现
def shell_sort(arr):
n = len(arr)
gap = n // 2
while gap > 0:
for i in range(gap, n):
temp = arr[i]
j = i
while j >= gap and arr[j-gap] > temp:
arr[j] = arr[j-gap]
j -= gap
arr[j] = temp
gap //= 2
复杂度
- 时间复杂度：O(n^1.3) ~ O(n²)（与步长序列有关）
- 空间复杂度：O(1)
- 稳定性：不稳定
七、堆排序（Heap Sort）
原理
利用堆这种数据结构（通常是大顶堆），每次取出堆顶元素，重建堆，直到排序完成。
实现
def heapify(arr, n, i):
largest = i
l = 2*i + 1
r = 2*i + 2
if l < n and arr[l] > arr[largest]:
largest = l
if r < n and arr[r] > arr[largest]:
largest = r
if largest != i:
arr[i], arr[largest] = arr[largest], arr[i]
heapify(arr, n, largest)
def heap_sort(arr):
n = len(arr)
for i in range(n//2-1, -1, -1):
heapify(arr, n, i)
for i in range(n-1, 0, -1):
arr[0], arr[i] = arr[i], arr[0]
heapify(arr, i, 0)
复杂度
- 时间复杂度：O(n log n)
- 空间复杂度：O(1)
- 稳定性：不稳定
八、计数排序（Counting Sort）
原理
适用于整数且范围不大的序列。统计每个数出现的次数，然后按顺序输出。
实现
def counting_sort(arr):
if not arr:
return arr
min_val = min(arr)
max_val = max(arr)
count = [0] * (max_val - min_val + 1)
for num in arr:
count[num - min_val] += 1
result = []
for i, c in enumerate(count):
result.extend([i + min_val] * c)
return result
复杂度
- 时间复杂度：O(n + k)（k为数值范围）
- 空间复杂度：O(k)
- 稳定性：稳定
九、常见排序算法复杂度对比表
| 算法 | 最好时间 | 最坏时间 | 平均时间 | 空间复杂度 | 稳定性 |
|---|---|---|---|---|---|
| 冒泡排序 | O(n) | O(n²) | O(n²) | O(1) | 稳定 |
| 选择排序 | O(n²) | O(n²) | O(n²) | O(1) | 不稳定 |
| 插入排序 | O(n) | O(n²) | O(n²) | O(1) | 稳定 |
| 希尔排序 | O(n^1.3) | O(n²) | O(n^1.3) | O(1) | 不稳定 |
| 归并排序 | O(n log n) | O(n log n) | O(n log n) | O(n) | 稳定 |
| 快速排序 | O(n log n) | O(n²) | O(n log n) | O(log n) | 不稳定 |
| 堆排序 | O(n log n) | O(n log n) | O(n log n) | O(1) | 不稳定 |
| 计数排序 | O(n+k) | O(n+k) | O(n+k) | O(k) | 稳定 |
十、总结
- 排序算法种类繁多，选择合适的算法要结合数据规模、数据特性和实际需求。
- 面试和实际开发中，常用的高效排序有快速排序、归并排序、堆排序等。
- Python 内置的
sort()和sorted()使用的是 Timsort（归并+插入的优化），时间复杂度 O(n log n)，稳定且高效。
建议：
- 小数据量用插入、冒泡等简单算法，大数据量优先考虑快排、归并、堆排序。
- 了解每种算法的原理和适用场景，能灵活应对各种实际问题和面试考察。
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