SymPy 是 Python 中强大的符号计算库，广泛应用于数学建模、公式推导和科学计算。本文将从两个核心功能展开：表达式中自由变量的获取与因式分解的实现，通过完整代码示例和深入分析，帮助读者掌握其使用方法。
第一部分：获取表达式的自由变量
在符号计算中，自由变量（未被积分、求和等操作绑定的符号）的识别是关键步骤。SymPy 通过 free_symbols 属性实现这一功能，支持从简单到复杂表达式的解析。
1.1 基础用法：free_symbols 属性
free_symbols 返回表达式中所有未被绑定的符号集合，自动过滤被积分、求和等操作绑定的变量。
代码示例
from sympy import symbols, Integral, Derivative, Sum, Function
# 定义符号
x, y, z = symbols('x y z')
n = symbols('n', integer=True)
f = Function('f')
# 示例1：简单表达式
expr1 = x + y**2
print("示例1自由变量:", expr1.free_symbols) # 输出: {x, y}
# 示例2：积分表达式（x被积分绑定）
expr2 = Integral(x*y, (x, 0, 1))
print("示例2自由变量:", expr2.free_symbols) # 输出: {y}
# 示例3：导数表达式（变量不绑定）
expr3 = Derivative(f(x), x) + y
print("示例3自由变量:", expr3.free_symbols) # 输出: {x, y}
# 示例4：求和表达式（n被求和绑定）
expr4 = Sum(x*n, (n, 0, 5))
print("示例4自由变量:", expr4.free_symbols) # 输出: {x}
# 示例5：复杂复合表达式（y被积分绑定）
expr5 = Integral(Derivative(f(x), x) + y, (y, 0, z))
sorted_vars = sorted(expr5.free_symbols, key=lambda s: s.name)
print("示例5自由变量（排序后）:", sorted_vars) # 输出: [x, z]
关键点分析
- 积分与求和：操作中的积分变量（如
x）或求和索引（如n）会被自动排除。 - 导数与函数：导数操作（如
Derivative(f(x), x)）不会绑定变量，x仍视为自由变量。 - 结果排序：通过
sorted(..., key=lambda s: s.name)按符号名称排序，提升可读性。
第二部分：因式分解的实现
SymPy 的 factor 函数支持从简单多项式到复杂表达式的分解，并可扩展至自定义数域。
2.1 基础因式分解
使用 factor(expr) 对多项式进行有理数域上的分解。
代码示例
from sympy import symbols, factor
x, y = symbols('x y')
# 单变量分解
expr1 = x**2 - 4
print("分解1:", factor(expr1)) # 输出: (x - 2)*(x + 2)
# 多变量分解
expr2 = x**2*y + x*y**2
print("分解2:", factor(expr2)) # 输出: x*y*(x + y)
2.2 扩展数域分解
通过 extension 参数指定数域（如复数域），分解包含无理数的表达式。
代码示例
from sympy import factor, sqrt,symbols
x = symbols('x')
# 默认无法分解的表达式
expr3 = x**2 - 2
print("默认分解:", factor(expr3)) # 输出: x² - 2
# 扩展至包含√2的域
print("扩展分解:", factor(expr3, extension=sqrt(2))) # 输出: (x - √2)*(x + √2)
2.3 分式表达式分解
分解分子和分母后，使用 cancel 函数化简分式。
代码示例
from sympy import factor, cancel,symbols
x = symbols('x')
# 分式分解与化简
expr4 = (x**2 - 4)/(x**2 - 3*x + 2)
factored4 = factor(expr4)
simplified4 = cancel(factored4)
print("分式分解:", factored4)
print("化简后:", simplified4)
2.4 复杂多项式分解
支持含三角函数或高次多项式的分解。
代码示例
from sympy import cos, factor,symbols
x,y = symbols('x,y')
# 含三角函数的表达式
expr5 = x**2 - 2*cos(y)*x + cos(y)**2
print("三角分解:", factor(expr5)) # 输出: (x - cos(y))**2
# 高次多项式分解
expr6 = x**5 - x**4 - 2*x**3 + 2*x**2 + x - 1
print("高次分解:", factor(expr6))
2.5 不可分解表达式处理
对无法分解的表达式，使用 roots 分析根或 expand 展开验证。
代码示例
from sympy import roots, expand,symbols,factor
x = symbols('x')
# 无法分解的表达式
expr7 = x**2 + x + 1
print("分解结果:", factor(expr7)) # 输出: x² + x + 1
# 检查有理数域根
print("根检查:", roots(expr7)) # 输出: {}
# 验证展开一致性
expr8 = (x + 1)**2
expanded = expand(expr8)
print("展开验证:", expanded) # 输出: x² + 2x + 1
总结与对比
| 功能 | 核心方法 | 应用场景 |
|---|---|---|
| 自由变量提取 | expr.free_symbols | 分析表达式依赖的独立变量 |
| 基础因式分解 | factor(expr) | 单变量/多变量多项式分解 |
| 扩展数域分解 | factor(expr, extension) | 处理含无理数（如√2, i）的表达式 |
| 分式化简 | factor + cancel | 分子分母分解后约简 |
| 复杂结构分解 | factor(expr) | 高次多项式、三角函数表达式 |
| 不可分解表达式分析 | roots(expr) | 检查根的存在性或验证表达式等效性 |
完整代码整合
# 自由变量提取
from sympy import symbols, Integral, Derivative, Sum, Function
x, y, z = symbols('x y z')
n = symbols('n', integer=True)
f = Function('f')
expr_a = Integral(Derivative(f(x), x) + y, (y, 0, z))
print("自由变量:", sorted(expr_a.free_symbols, key=lambda s: s.name)) # [x, z]
# 因式分解
from sympy import factor, cancel, sqrt, cos
expr_b = (x**2 - 4)/(x**2 - 3*x + 2)
print("分式分解:", cancel(factor(expr_b))) # (x + 2)/(x - 1)
expr_c = x**5 - x**4 - 2*x**3 + 2*x**2 + x - 1
print("高次分解:", factor(expr_c))
通过本文的代码与解析，读者可掌握 SymPy 在自由变量提取和因式分解中的核心方法，并灵活应用于符号计算、工程建模等领域。进一步学习可参考 SymPy 官方文档。
