小根堆构建的两种方式：上浮法与下沉法

在构建小根堆（Min-Heap）时，通常有两种常见的构建方式：

1. 上浮建堆（逐个插入，上浮调整）
2. 下沉建堆（Heapify 自底向上，下沉调整）

这两种方法在时间复杂度上有显著差异。

---

一、上浮建小根堆：逐个插入 + 上浮调整

1. 核心原理：

• 对于给定的无序数组，逐个插入到堆中。

• 每次插入新元素时，将其放在堆的最后一个位置（末尾），然后执行“上浮”调整：

  • 将新元素与其父节点比较，如果新元素更小，则与父节点交换。
  • 重复此过程，直到新元素达到正确的位置或成为堆顶。

2. 上浮过程示例：

• 对于每个新插入的元素，最多需要调整至堆顶。
• 在完全二叉树中，高度为 $\lfloor \log n\rfloor$。
• 因此，单个元素上浮的时间复杂度为 $O(\log n)$。

3. 总体时间复杂度分析：

• 对于 $n$ 个元素，逐个插入，每次上浮调整：

  $$O(1\times \log 1)+O(1\times \log 2)+\cdots +O(1\times \log n)$$

• 这相当于一个对数级数求和：

  $$\sum _{i=1}^n\log i\approx O(n\log n)$$

• 结论：上浮建堆的时间复杂度为 $O(n\log n)$。

---

二、下沉建小根堆：Heapify 自底向上

1. 核心原理：

• 直接将无序数组视为一个完全二叉树。

• 从最后一个非叶子节点开始，逐个向前进行“下沉”调整：

  • 对当前节点执行下沉：

    • 与左右子节点中较小的一个交换，确保当前节点保持小根堆性质。

  • 重复下沉，直到当前节点满足堆性质或成为叶节点。

2. 下沉过程示例：

• 对于每个非叶子节点进行下沉操作。

• 下沉操作的时间取决于树的高度：

  • 对于完全二叉树，树高为 $\lfloor \log n\rfloor$。

  • 但下沉的层次是逐级减少的：

    • $n/2$ 个节点（叶节点）不需要下沉。
    • $n/4$ 个节点下沉 1 次。
    • $n/8$ 个节点下沉 2 次。
    • ……

3. 总体时间复杂度分析：

• 这是一种渐进减半的过程：

  $$\sum _{i=1}^{\log n}\frac{n}{2^i}\times i$$

• 该求和公式的复杂度为 $O(n)$，这是因为下沉过程中的递减效果：

$$T(n)=2\times \frac{n}{2}\times 1+2\times \frac{n}{4}\times 2+2\times \frac{n}{8}\times 3+\cdots \approx O(n)$$

• 结论：下沉建堆的时间复杂度为 $O(n)$。

---

三、两种建堆方式的时间复杂度对比

建堆方式	上浮建堆（逐个插入）	下沉建堆（Heapify）
原理	逐个插入，上浮调整	自底向上，下沉调整
调整过程	每次上浮至正确位置	从最后一个非叶节点下沉
复杂度	$O(n\log n)$	$O(n)$

---

四、为什么下沉建堆更高效？

• 下沉建堆（Heapify）直接从中间节点开始调整，避免了对叶子节点的重复操作。
• 叶子节点天生满足堆的性质，因此可以忽略。
• 而上浮建堆在每次插入时都进行上浮，无法利用已经部分有序的特性，导致较高的复杂度。

---

五、实际应用中的选择：

• 上浮建堆： 常用于动态增量插入堆的情况（如优先队列逐个入队）。
• 下沉建堆： 常用于一次性构建堆（如堆排序）。