二分
知识点
二分：
1.序列二分：在序列中查找（不怎么考，会比较难？）
序列二分应用的序列必须是递增或递减，但可以非严格
只要r是mid-1，就对应mid=（l+r+1）/2
2.答案二分：最值
答案二分更重要的是思路，要自己可以二分的点，一般先写暴力，再将其转为二分。
3.浮点数二分：连续性
1.1序列二分模板题–蓝桥18492
模板题目
package erfen;
import java.util.Scanner;
public class Test1 {
static int N = 100010;
static int n, q;
static int[] a = new int[N];
//找到等于x的最左边的数的下标
static int getL(int l, int r, int x) {
while (l < r) {
int mid = l + r >> 1;//右移1表示除以2
if (a[mid] >= x) r = mid;
else l = mid + 1;
}
if (a[l] == x)
return l;//返回下标
else
return -1;//不存在
}
//找到等于x的最右边的数的下标
static int getR(int l, int r, int x) {
while (l < r) {
int mid = l + r + 1 >> 1;//右移1表示除以2
if (a[mid] <= x) l = mid;
else r = mid - 1;
}
if (a[l] == x)
return l;//返回下标
else
return -1;//不存在
}
//找到大于等于x的第一个数的下标
static int lower_bound(int l, int r, int x) {
while (l < r) {
int mid = l + r >> 1;//右移1表示除以2
if (a[mid] >= x) r = mid;
else l = mid + 1;
}
if (a[l] >= x)
return l;//返回下标
else
return -1;//不存在
}
//找到大于x的第一个数的下标
static int upper_bound(int l, int r, int x) {
while (l < r) {
int mid = l + r >> 1;//右移1表示除以2
if (a[mid] > x) r = mid;
else l = mid + 1;
}
if (a[l] > x)
return l;//返回下标
else
return -1;//不存在
}
//主逻辑函数
static void solve() {
Scanner sc = new Scanner(System.in);
n = sc.nextInt();
q = sc.nextInt();
for (int i = 1; i <= n; i++) {
a[i] = sc.nextInt();
}
for (int i = 0; i < q; i++) {
int op = sc.nextInt();
int l = sc.nextInt();
int r = sc.nextInt();
int x = sc.nextInt();
if (op == 1) {
System.out.println(getL(l, r, x));
} else if (op == 2) {
System.out.println(getR(l, r, x));
} else if (op == 3) {
System.out.println(lower_bound(l, r, x));
} else if (op == 4) {
System.out.println(upper_bound(l, r, x));
}
}
}
public static void main(String[] args) {
solve();
}
}
1.2最大通过数–蓝桥3346–前缀和+二分
本题利用了前缀和和二分
思想很重要，首先枚举左边，再在里面枚举右边的通过数。
先写暴力然后就很容易写二分。
注意数值范围
暴力
package erfen;
import java.util.Scanner;
public class Test2 {
static int N = 200010;
static int m,n;
static long k;
static long[] a = new long[N];
static long[] b = new long[N];
//主逻辑函数
static void solve(){
Scanner sc = new Scanner(System.in);
n = sc.nextInt();
m = sc.nextInt();
k = sc.nextLong();
for (int i = 1; i <= n; i++) {
a[i] = sc.nextLong();
a[i] = a[i - 1] + a[i];//计算前缀和
}
for (int i = 1; i <= m; i++) {
b[i] = sc.nextLong();
b[i] = b[i - 1] + b[i];//计算前缀和
}
int ans = 0;
for (int i = 0; i <= n; i++) {
//循环左边
if(a[i] > k) break;//a[0]为0，所以无需担心左边为0没有遍历右边
long x = k - a[i];//左边可通过i关
for (int j = 0; j <= m; j++) {
if(x >= b[j]){//右边可通过j关
ans = Math.max(ans, i + j);
}else{
break;
}
}
}
System.out.println(ans);
}
public static void main(String[] args) {
solve();
}
}
二分
计算前缀和数组，它是递增的，可以应用二分
要二分就要找到单调的趋势，找到可以二分的点。
package erfen;
import java.util.Scanner;
public class Test2 {
static int N = 200010;
static int m,n;
static long k;
static long[] a = new long[N];
static long[] b = new long[N];
//主逻辑函数
static void solve(){
Scanner sc = new Scanner(System.in);
n = sc.nextInt();
m = sc.nextInt();
k = sc.nextLong();
for (int i = 1; i <= n; i++) {
a[i] = sc.nextLong();
a[i] = a[i - 1] + a[i];//计算前缀和
}
for (int i = 1; i <= m; i++) {
b[i] = sc.nextLong();
b[i] = b[i - 1] + b[i];//计算前缀和
}
int ans = 0;
for (int i = 0; i <= n; i++) {
//枚举左边
if(a[i] > k) break;//a[0]为0，所以无需担心左边为0没有遍历右边
long x = k - a[i];//剩下的
//二分第二个山洞,找到大于x的第一个数
//因为是找大于x的第一个数，x可能是最后一个即m，所以r的取值要是m+1
int l = 0, r = m + 1;
while(l < r){
int mid = l + r >> 1;
if(b[mid] > x) r = mid;
else l = mid + 1;
}
ans = Math.max(ans, i + l - 1);
}
System.out.println(ans);
}
public static void main(String[] args) {
solve();
}
}
1.3答案二分模板–https://hydro.ac/d/shallowdream/p/33
求最小的最大值，这题和后面那道数列分段一样，都是要求一个最值。
这个最值是自己进行枚举来得到的，这是一个重要的思路。
第二个就是本题的k次加一操作转换为了元素要达到max需要消耗多少k值，由此找到最小的max
暴力
package erfen;
import java.util.Scanner;
public class Test3 {
static int N = 100010;
static int n;
static long k;
static int[] a = new int[N];
static void solve(){
Scanner sc = new Scanner(System.in);
n = sc.nextInt();
k = sc.nextLong();
for (int i = 1; i <= n; i++) {
a[i] = sc.nextInt();
}
//枚举最小值
for (int i = 1; i <= 1e14; i++) {
long t = k;//每次都要重新初始化
for (int j = 1; j <= n; j++) {
//循环数组每个元素看能否达到i
if(a[j] < i){
t = t -(i - a[j]);//a[j]需要(i - a[j])次加一操作才能达到i
}
//结束后进行判断
if(t < 0){
//当前数组某个元素不能达到i，那整个数组都不能达到i
System.out.println(i - 1);
return;//结束全部
}
}
}
}
public static void main(String[] args) {
solve();
}
}
二分
找到可以二分的点：随着枚举的最大的最小值越大，t的值即剩余的k操作越来越少。
package erfen;
import java.util.Scanner;
public class Test3 {
static int N = 100010;
static int n;
static long k;
static int[] a = new int[N];
//
static boolean check(long m){
long t = k;//每次都要重新初始化
for (int j = 1; j <= n; j++) {
//循环数组每个元素看能否达到m
if(a[j] < m){
t = t -(m - a[j]);//a[j]需要(m - a[j])次加一操作才能达到m
}
//结束后进行判断
if(t < 0){
//当前数组某个元素不能达到i，那整个数组都不能达到i
/*System.out.println(i - 1);*/
return false;//结束全部
}
}
//整个循环结束，表示整个数组可以达到m
return true;
}
static void solve(){
Scanner sc = new Scanner(System.in);
n = sc.nextInt();
k = sc.nextLong();
for (int i = 1; i <= n; i++) {
a[i] = sc.nextInt();
}
//二分最大的最小值
long l = 1;
long r = (long)1e14;
while(l < r){
long mid = l + r + 1 >> 1;
if(check(mid)) l = mid;//true，表示可以达到mid，但是这个mid不一定是最大的。所以让l=mid。
else r = mid - 1;
}
System.out.println(l);
}
public static void main(String[] args) {
solve();
}
}
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