天线阵列波束成形原理详解与仿真实战

1. 引言

在无线通信、雷达和声学系统中，波束成形（Beamforming）是一种通过调整天线阵列中各个阵元的信号相位和幅度，将电磁波能量集中在特定方向的技术。其核心目标是通过空间滤波增强目标方向的信号，同时抑制干扰和噪声。本文将从阵列模型、波束成形原理、数学推导及波束增益计算等方面展开详细分析。

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2. 天线阵列模型

2.1 均匀线性阵列（ULA）

假设一个由$N$个各向同性阵元组成的均匀线性阵列（Uniform Linear Array, ULA），阵元间距为$d$。以第一个阵元为参考点，第$n$个阵元的位置为：
$$x_n=(n-1)d(n=1,2,\dots ,N)$$

2.2 远场假设

当信号源距离阵列足够远时，入射波可视为平面波。假设信号入射方向与阵列法线方向的夹角为$\theta$，则相邻阵元间的相位差为：
$$\Delta \varphi =\frac{2\pi d\sin \theta }{\lambda }$$
其中$\lambda$为波长。

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3. 波束成形的基本原理

3.1 阵列响应向量

对于入射角度$\theta$，阵列的响应向量（导向向量）为：
$$\mathbf{a}(\theta )={\left[1,e^{j\Delta \varphi },e^{j2\Delta \varphi },\dots ,e^{j(N-1)\Delta \varphi }\right]}^T$$

3.2 加权合成

通过为每个阵元分配复权重$w_n$，合成输出信号为：
$$y(t)={\mathbf{w}}^H\mathbf{x}(t)=\sum _{n=1}^N{w}_n^{\ast }{x}_n(t)$$
其中$\mathbf{w}=[w_1,w_2,\dots ,w_N{]}^T$为权重向量，$\mathbf{x}(t)$为接收信号向量。

3.3 波束方向图

阵列的波束方向图（Array Factor, AF）定义为：
$$AF(\theta )={\mathbf{w}}^H\mathbf{a}(\theta )=\sum _{n=1}^N{w}_n^{\ast }{e}^{j(n-1)\Delta \varphi }$$

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4. 数学推导：波束成形的实现

4.1 相位补偿法

若需使主瓣对准方向${\theta }_0$，需补偿相邻阵元间的相位差。权重向量设计为：
$$w_n=e^{-j(n-1)\frac{2\pi d\sin {\theta }_0}{\lambda }}$$
此时，方向图在${\theta }_0$处达到最大值。

4.2 波束方向图分析

代入权重后，方向图简化为：
$$AF(\theta )=\sum _{n=0}^{N-1}{e}^{jn\frac{2\pi d}{\lambda }(\sin \theta -\sin {\theta }_0)}$$
利用等比数列求和公式：
$$AF(\theta )=\frac{\sin \left(N\cdot \frac{\pi d}{\lambda }(\sin \theta -\sin {\theta }_0)\right)}{\sin \left(\frac{\pi d}{\lambda }(\sin \theta -\sin {\theta }_0)\right)}$$

4.3 主瓣与栅瓣

• 主瓣宽度：与$N$成反比，$N$越大波束越窄。
• 栅瓣条件：当$d/\lambda >0.5$时，可能出现多个主瓣（栅瓣）。

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5. 波束增益计算

5.1 方向性系数

波束增益$G$定义为最大辐射强度与各向同性辐射器的比值：
$$G=\frac{4\pi |AF({\theta }_0){|}^2}{{\int }_0^{2\pi }{\int }_0^{\pi }|AF(\theta ,\varphi ){|}^2\sin \theta d\theta d\varphi }$$
对于均匀加权ULA，最大增益近似为：
$$G\approx N\cdot \left(\frac{4\pi d}{\lambda }\right)$$

5.2 阵元间距影响

• 最优间距：通常取$d=\lambda /2$，以避免栅瓣并最大化增益。
• 过密阵元：间距过小导致互耦效应，降低效率。

5.3 实际增益公式

考虑效率$\eta$后，实际增益为：
$$G_{real}=\eta \cdot N\cdot G_{element}$$
其中$G_{element}$为单个阵元的增益。

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6. 影响波束增益的关键因素

1. 阵元数量（N）：增益随$N$线性增加。
2. 权重设计：非均匀加权（如切比雪夫加权）可降低旁瓣，但略微减小主瓣增益。
3. 频率与带宽：宽带信号需考虑色散效应。
4. 阵元方向性：若阵元非各向同性，总增益需乘以阵元方向图。
5. 扫描角度：扫描至端射方向（$\theta =90^{\circ }$）时增益下降。

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7. 扩展：平面阵列与二维波束成形

对于$M\times N$平面阵列，导向向量为：
$$\mathbf{a}(\theta ,\varphi )={\mathbf{a}}_x(\theta ,\varphi )\otimes {\mathbf{a}}_y(\theta ,\varphi )$$
其中$\otimes$表示Kronecker积。增益提升至$M\times N$倍。

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8. 仿真

这里直接提供仿真代码和仿真结果：
先说结果，采用32阵元的阵列进行仿真，阵列布局如图如下，阵元间隔0.8 $\lambda$

仿真在俯仰角60度时，方位角指向不同方向的波束情况如下：

完整代码作为福利，如下：

#!/usr/bin/env python3
# -*- coding: utf-8 -*-
"""
Created on Tue Apr  8 22:13:36 2025

@author: neol
"""

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
from mpl_toolkits.mplot3d import Axes3D

plt.close('all')
# 设置全局字体为支持中文的字体
plt.rcParams['font.sans-serif'] = ['WenQuanYi Micro Hei']  # 黑体
# 解决负号显示问题
plt.rcParams['axes.unicode_minus'] = False


# 参数设置
c = 299792458  # 光速
freq = 1268.52e6  # 频率
wavelength = c / freq  # 波长
d = wavelength*0.7 # 阵元间距
N = 6  # 网格尺寸(6x6)
theta_res = 1  # 角度分辨率(度)

# 生成阵元位置(四角空缺)
positions = []
for i in range(N):
    for j in range(N):
        # 排除四个角落(0,0),(0,5),(5,0),(5,5)
        if (i==0 and j==0) or (i==0 and j==5) or (i==5 and j==0) or (i==5 and j==5):
            continue
        positions.append([i*d - (N-1)*d/2, j*d - (N-1)*d/2, 0])  # 中心对齐

positions = np.array(positions)
num_elements = len(positions)
print(f"有效阵元数量: {num_elements}")

# 生成12个目标方向(方位角均匀分布)
num_beams = 12
phi_targets = np.linspace(0, 2*np.pi, num_beams, endpoint=False)
# theta_target = np.pi/2  # 固定俯仰角为90度(水平面)
pitch = 60
theta_target = np.radians(pitch)  # 俯仰角设置

# 波束方向图计算函数
def calculate_beam_pattern(weights, positions, wavelength):
    theta = np.linspace(0, np.pi, 181)
    phi = np.linspace(0, 2*np.pi, 361)
    THETA, PHI = np.meshgrid(theta, phi)
    
    # 转换为直角坐标
    X = np.sin(THETA) * np.cos(PHI)
    Y = np.sin(THETA) * np.sin(PHI)
    Z = np.cos(THETA)
    
    pattern = np.zeros_like(THETA, dtype=np.complex128)
    
    # 计算每个阵元的贡献
    for i, pos in enumerate(positions):
        phase_shift = 2*np.pi/wavelength * (pos[0]*X + pos[1]*Y + pos[2]*Z)
        pattern += weights[i] * np.exp(1j*phase_shift)
    
    return 20*np.log10(np.abs(pattern))

# 创建绘图
fig = plt.figure(figsize=(18,12))
fig.suptitle('32-Element Array Beam Patterns (12 Directions)', fontsize=16)

# 为每个波束生成权重并绘图
for beam_idx in range(num_beams):
    # 当前目标方向
    phi_target = phi_targets[beam_idx]
    
    # 计算导向矢量
    steering_vector = np.zeros(num_elements, dtype=np.complex128)
    for i, pos in enumerate(positions):
        phase = 2*np.pi/wavelength * (
            pos[0]*np.sin(theta_target)*np.cos(phi_target) +
            pos[1]*np.sin(theta_target)*np.sin(phi_target) +
            pos[2]*np.cos(theta_target)
        )
        steering_vector[i] = np.exp(-1j*phase)
    
    # 归一化权重
    weights = steering_vector / np.linalg.norm(steering_vector)
    
    # 计算方向图
    pattern = calculate_beam_pattern(weights, positions, wavelength)
    
    # 转换为极坐标并绘图
    ax = fig.add_subplot(3, 4, beam_idx+1, projection='polar')
    ax.set_theta_offset(np.pi/2)
    ax.set_theta_direction(-1)
    
    #标志主瓣方向
    r_max = 15
    r_min = -40
    ax.plot([phi_target, phi_target], [r_min, r_max], 
        color='red', linestyle='--', linewidth=1.5, alpha=0.8)
    
    phi_plot = np.linspace(0, 2*np.pi, 361)
    theta_plot = np.linspace(0, np.pi, 181)
    
    # 提取水平面方向图
    horizontal_cut = pattern[:, pitch]  # theta=90度
    
    # 绘制极坐标图
    ax.plot(phi_plot, horizontal_cut, linewidth=1.5)
    ax.set_title(f'Beam {beam_idx+1}\nAzimuth={np.degrees(phi_target):.1f}°\nPitch={pitch:.1f}°', pad=20)
    ax.set_rlim(r_min, r_max)
    ax.grid(True)

plt.tight_layout()
plt.show()

# 绘制阵列几何布局
plt.figure(figsize=(8,6))
plt.scatter(positions[:,0]/wavelength, positions[:,1]/wavelength, s=50, c='r')
plt.title('Array Geometry (Wavelength Normalized)')
plt.xlabel('X (λ)')
plt.ylabel('Y (λ)')
plt.grid(True)
plt.axis('equal')
plt.show()

9. 结论

天线阵列波束成形通过精确控制各阵元的相位和幅度，实现了信号的空间选择性。其性能直接取决于阵元数量、间距及权重设计。理解其数学本质和增益限制因素，对5G Massive MIMO、雷达等系统设计至关重要。

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