矩阵分析与计算学习记录-矩阵函数

news2025/7/12 9:41:51

本章重点内容:

矩阵函数的定义和计算

矩阵函数的导数和积分:导数定义和性质、对矩阵变量的导数、矩阵函数的积分及其性质

利用矩阵函数求解线性常系数微分方程:一阶线性常系数微分方程、n阶线性常系数微分方程


 

1. 矩阵函数的定义和计算

1.1 矩阵函数的定义

首先补充一下最小多项式的求法

 下面看一个例子

1.2 矩阵函数的计算

矩阵函数的计算分为四种方式:

  • 利用Hamilton-Cayley定理计算矩阵函数
  • 利用相似对角化计算矩阵函数
  • 利用Jordan标准型计算矩阵函数
  • 利用待定系数法求解矩阵函数
  • 利用多项式表达求解矩阵函数

1.2.1 Jordan标准型计算矩阵函数

首先来看利用Jordan标准型计算矩阵函数 ,但是计算量比较大

 下面看到例题:

如果不清楚怎么求Joradn标准型和相似变换矩阵P的可以先看一下下面的网址

求矩阵的Jordan标准形和相应的相似变换矩阵

以上就是直接求出Jordan标准型的方法

 下面我们看如何利用Jordan标准型来解决矩阵函数的问题

 1.2.2  多项式表示求矩阵函数

利用多项式表示求矩阵函数相较于Jordan标准型,可以减少计算量,不需要求解PP^{-1}

 下面来看个例题

   

 1.2.3 待定系数法求矩阵函数

 下面我们来看如何利用待定系数法求解矩阵函数

 1.2.4 Hamilton-Cayley定理求解矩阵函数

 基本思想:找出矩阵方幂之间的关系,然后化简矩阵幂级数,求出矩阵函数的值。

1.2.5 相似变换矩阵求矩阵函数

 不知道怎么求解相似对角化矩阵的可以看一下

求解相似对角阵

1.2.6 矩阵函数的一些性质 

1.3 矩阵函数的幂级数表示

常用的幂级数展开

对应的矩阵函数

显而易见的是,我们不喜欢上图右侧的计算方式,计算一个 A2 的计算复杂度都是 n3 级别的尤其还有A的更高幂,为了节省计算资源和计算方便,使用Jordan分解来计算幂级数。

 下面我们看一道具体的例题

 特征变量都是2,所以谱半径为2

1.4 矩阵指数函数与矩阵三角函数

有如下的性质:

 下面看两个证明例题:

 
 2. 矩阵函数的导数和积分

 2.1 函数矩阵

 2.2 矩阵函数的导数和积分

接下来我们看可导的定义:

 函数向量的线性相关性:

 对可导和积分的总结:

3.  利用矩阵函数求解线性常系数微分方程

 3.1 一阶常系数线性微分方程组


 


 


 


 

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