伽马函数 简要总结

news2025/7/11 15:07:42

1、定义公式：-\int_{0}^{+\infty}x^{d-1}e^{-x}dx\triangleq \Gamma(x) \\  （=上面一个△ 意为“定义为”）

例1：\int_{0}^{+\infty}x^{4}e^{-x}dx==\Gamma(4 + 1)=\Gamma(5) \\

例2：\int_{0}^{+\infty}\sqrt{x}e^{-x}dx=\Gamma(\frac{3}{2})

2、性质

  • \Gamma(\alpha+1)=\alpha\Gamma(\alpha);
  • \Gamma(n+1)=n!
  • \Gamma(\frac{1}{2})=\sqrt{\pi}

3、举例

例1：

\int_0^{+\infty}x^3e^{-x}dx=\Gamma(\varphi)=3!=6

例2：

\begin{gathered} \int_{0}^{+\infty}x^{\frac{3}{2}}e^{-x}dx=\Gamma(\frac{5}{2})=\Gamma(\frac{3}{2}+1) \\ =\frac{3}{2}\Gamma(\frac{3}{2})=\frac{3}{2}\Gamma(\frac{1}{2}+1) \\ =\frac{3}{2}\times\frac{1}{2}\Gamma(\frac{1}{2})=\frac{3}{4}\sqrt{\pi} \end{gathered}

例3：

\begin{aligned}&\int_{0}^{+\infty}x^{5}e^{-x^{2}}dx\\&=\frac{1}{2}\int_{0}^{+\infty}x^{4}e^{-x^{2}}d(x^{2})\end{aligned}

\overset{\text{$x^2=t$}}{=} \frac{1}{2}\int_{0}^{2\infty}t^{2}e^{-t}dt=\frac{1}{2}\Gamma(3)=1

笔记记录时间：2023.11.01，笔记记录自汤老师讲解的伽马函数内容。     
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