时间复杂度和空间复杂度详解

news2025/7/8 14:18:10

文章目录

引入

一、时间复杂度的详解及例题

1、时间复杂度的概念

2、时间复杂度的例题训练

2.1 实题训练1

2.2 实题训练2

2.3 实题训练3

2.4 实题训练4

2.5 大O符号（Big O notation)的函数绘图

二、空间复杂度的详解及例题

1、空间复杂的的概念

2、空间复杂度的例题

2.1 实题训练1

2.2 实题训练2

标题：时间复杂度和空间复杂度

作者：@Ggggggtm

寄语：与其忙着诉苦，不如低头赶路，奋路前行，终将遇到一番好风景

引入

随着科技的发展，日益趋显的是我们对效率的要求越来越高了。当然，说到我们的算法也不例外。

算法效率分析分为两种：第一种是时间效率，第二种是空间效率。时间效率被称为时间复杂度。而空间效率被称作空间复杂度。时间复杂度主要街量的是一个算法的运行速度，而空间复杂度主要衡量一个算法所需要的额外空间，在计算机发展的早期，计算机的存储容量很小。所以对空间复杂度很是在子。但是经过计算机行业的迅速发展，计算机的存储容量已经达到了很高的程度。所以我们如今已经不需要再特别关注一个算法的空间复杂度。那我们先来看一下时间效率，也就是时间复杂度。

一、时间复杂度的详解及例题

1、时间复杂度的概念

时间复杂度的定义：在计算机科学中，算法的时间复杂度是一个西数，它定量描述了该算法的运行时间。一个算法执行所耗费的时间，从理论上说，是不能算出来的，只有你把你的程序放在机器上跑起来，才能知道。但是我们需要每个算法都上机测试吗？是可以都上机测试，但是这很麻烦，所以才有了时间复杂度这个分析方式。一个算法所花费的时间与其中语句的执行次数成正比例，算法中的基本操作的执行次数，为算法的时间复杂度。通俗来讲，我们只需要计算出大概的次数，时间复杂度就是在一个算法中执行次数最多的一个循环。

我们来结合着例题一起看一下，这样更加容易理解。

2、时间复杂度的例题训练

2.1 实题训练1

我们看下面的一段代码的时间复杂度为多少呢？

我们先来看一下上面的代码总执行的次数吧。

我们不难看出，第一个for循环执行的次数为N*N次，第二个for循环执行的次数为2*N次，while循环执行了10次。那么总次数即为F(N)=N*N+2*N+10。我们再看下面的表格：

F(N)与N和N*N的变化对比

N
N*N F（N)
10 100 130
100 10000 10210
1000 1000000 1002010

从上面的表格我们不难看出，当N越大时，N*N对F(N)的影响最大，其他项的影响极小，甚至可以忽略不计。于是我们实际中我们计算时间复杂度时，我们其实并不一定要计算精确的执行次数，而只需要大概执行次数，那么这里我们使用大O的渐进表示法。大O符号（Big O notation)：是用于描述西数渐进行为的数学符号。我们来看一下推导大O阶方法：

用常数1取代运行时间中的所有加法常数。
在修改后的运行次数函数中，只保留最高阶项。
如果最高阶项存在且不是1，则去除与这个项目相乘的常数。得到的结果就是大O阶。

使用大O的渐进表示法以后，我们可以计算出Func1的时间复杂度为：

O（N*N）

F(N)与N和N*N的变化对比
N	N*N	F（N)
10	100	130
100	10000	10210
1000	1000000	1002010

2.2 实题训练2

我们再来看一个例题：

这里我们使用大O的渐进表示法，很容易可以看出来时间复杂度。当M远大于N时，时间复杂度为O（M）,当M和N差不多大时，时间复杂度为O（M）或者O（N）。

2.3 实题训练3

我们再来看一个简单的为常数的：

同样，这里我们使用大O的渐进表示法，我们可以看出上面的代码执行了100次，我们通过大O阶方法的第一条规则可以看出，时间复杂度为O（1）。

2.4 实题训练4

通过上面我们会发现大0的渐进表示法去掉了那些对结果影响不大的项，简洁明了的表示出了执行次数。
另外有些算法的时间复杂度存在最好、平均和最坏情况：

最坏情况：任意输入规模的最大运行次数(上界）。
平均情况：任意输入规模的期望运行次数。
最好情况：任意输入规模的最小运行次数(下界)。

例如：在一个长度为N数组中搜索一个数据x

最好情况：1次找到。
最坏情况：N次找到。
平均情况：N/2次找到。

在实际中一般情况关注的是算法的最坏运行情况，所以数组中搜索数据时间复杂度为O(N) .

实际的例子有我们常见的：冒泡排序，二分查找等等。这些的时间复杂读我们都要看最坏的情况。