深度学习入门（6）误差反向传播基础---计算图与链式法则

news2025/8/10 5:39:39

在我的第三篇博文《深度学习入门（3）神经网络参数梯度的计算方式》中详细介绍了通过微分方式计算神经网络权重参数的梯度。但是数值微分的方式计算梯度效率较低。后续博文会介绍另外一种更加高效的梯度计算方式---误差的反向传播。

这篇文章介绍的是误差反向传播基础---计算图与链式法则相关的一些内容。

理解误差反向传播的两种方式：

1，基于数学式

2，基于计算图（computational graph）

本文主要介绍计算图的方式，误差是如何进行反向传播的。

1.计算图

计算图将计算过程用图形表示出来。这里的图形是数据结构图。

1.1用计算图进行计算

构建了计算图后，从左向右进行计算。就像电路中的电流流动一样，计算结果从左
向右传递。到达最右边的计算结果后，计算过程就结束了。

计算图计算流程：

1.构建计算图。
2.在计算图上，从左向右进行计算。

第2歩“从左向右进行计算”是一种正方向上的传播，简称为正向传播（ forward propagation）。正向传播是从计算图出发点到结束点的传播。既然有正向传播这个名称，当然也可以考虑反向（从图上看的话，就是从右向左）的传播。实际上，这种传播称为反向传播（ backward propagation）。

1.2 局部计算

计算图的特征是可以通过传递“局部计算”获得最终结果。“局部”这个词的意思是“与自己相关的某个小范围”。局部计算是指，无论全局发生了什么，都能只根据与自己相关的信息输出接下来的结果。

计算图可以集中精力于局部计算。无论全局的计算有多么复杂，各个步骤所要做的就是对象节点的局部计算。虽然局部计算非常简单，但是通过传递它的计算结果，可以获得全局的复杂计算的结果。

1.3计算图优势

1. 通过局部计算，简化问题

2. 利用计算图可以将中间的计算结果全部保存起来（比如，计算进行到2个苹
果时的金额是200日元、加上消费税之前的金额650日元等）

3. 通过反向传播高效计算导数。

上述问题中，我们计算了购买2个苹果时加上消费税最终需要支付的金额。这里，假设我们
想知道苹果价格的上涨会在多大程度上影响最终的支付金额，即求“支付金额关于苹果的价格的导数”。设苹果的价格为x，支付金额为L，则相当于求αL/αx。这个导数的值表示当苹果的价格稍微上涨时，支付金额会增加多少?

如图所示，反向传播使用与正方向相反的箭头（粗线）表示。反向传播传递“局部导数”，将导数的值写在箭头的下方。在这个例子中，反向传播从右向左传递导数的值（1 → 1.1 → 2.2）。从这个结果中可知，“支付金额关于苹果的价格的导数”的值是2.2。这意味着，如果苹果的价格上涨1日元，最终的支付金额会增加2.2日元（严格地讲，如果苹果的价格增加某个微小值，则最终的支付金额将增加那个微小值的2.2倍）。