深入理解复数加法与乘法：MATLAB演示

news2025/6/5 2:10:36

在学习复数的过程中，复数加法与乘法是两个非常基础且重要的概念。复数的加法和乘法操作与我们常见的实数运算有所不同，它们不仅涉及到数值的大小，还有方向和相位的变化。在这篇博客中，我们将通过MATLAB演示来帮助大家更好地理解复数加法与乘法的原理与应用。

一、复数基础

复数是一种形式为 $z = a + bi$ 的数，其中：

( $a$ ) 是实数部分
( $b$ ) 是虚数部分
( $i$ ) 是虚数单位，满足 $i^2 = -1$

复数不仅包含了实数部分，还包括了虚数部分，通常可以在复平面上表示为一个点，横坐标是实数部分，纵坐标是虚数部分。

二、复数加法

复数加法的规则比较简单：两个复数相加，只需要分别将它们的实部和虚部相加即可。具体来说，假设我们有两个复数 $z_1 = a + bi$ 和 $z_2 = c + di$ ，那么它们的和为：

$z_1 + z_2 = (a + c) + (b + d)i$

MATLAB 中的实现如下：

% 定义复数
z1 = 3 + 4i;  % 第一个复数
z2 = 1 + 2i;  % 第二个复数

% 复数加法
z_sum = z1 + z2;

% 显示结果
disp(['z1 + z2 = ', num2str(z_sum)]);

在这个示例中，我们创建了两个复数 $z_1 = 3 + 4i$ 和 $z_2 = 1 + 2i$ ，然后通过 MATLAB 进行加法操作，最终的结果会显示为 $4 + 6 i$ 即实部和虚部分别相加。
运算结果：
在这里插入图片描述

三、复数乘法

复数的乘法则稍微复杂一些。根据复数乘法的分配律，如果有两个复数 $z_1 = a + bi$ 和 $z_2 = c + di$ ，那么它们的乘积为：

$z_1 \cdot z_2 = (a + bi)(c + di) = ac + adi + bci + bdi^2$

由于 $i^2 = -1$ ，所以可以进一步简化为：

$z_1 \cdot z_2 = (ac - bd) + (ad + bc)i$

在 MATLAB 中，我们可以使用直接的乘法操作符 * 来计算复数的乘积：

% 复数乘法
z_product = z1 * z2;

% 显示结果
disp(['z1 * z2 = ', num2str(z_product)]);

在这个例子中，乘积将按上述公式计算，结果为 $\times 1 - 4 \times 2) + (3 \times 2 + 4 \times 1)i = -5 + 10i$ 。
运算结果：
在这里插入图片描述

四、复数加法与乘法的可视化

除了数值计算，复数的加法与乘法可以通过图形化来直观展示。我们可以在复平面上绘制加法与乘法的几何意义。

1. 复数加法的可视化

复数加法的几何意义是在复平面中，通过平行四边形法则将两个复数的向量相加。

% 绘制复数加法
figure;
hold on;
grid on;

% 绘制复数
quiver(0, 0, real(z1), imag(z1), 0, 'MaxHeadSize', 0.2, 'LineWidth', 2, 'Color', 'b', 'DisplayName', 'z1');
quiver(0, 0, real(z2), imag(z2), 0, 'MaxHeadSize', 0.5, 'LineWidth', 2, 'Color', 'r', 'DisplayName', 'z2');

% 绘制加法结果
quiver(0, 0, real(z_sum), imag(z_sum), 0, 'MaxHeadSize', 0.1, 'LineWidth', 2, 'Color', 'g', 'DisplayName', 'z1 + z2');

% 设置图形
legend show;
axis equal;
title('复数加法可视化');
xlabel('实数轴');
ylabel('虚数轴');

通过这个图形，我们可以看到复数 $z_1$ 和 $z_2$ 的向量，以及它们相加后得到的复数 $z_1 + z_2$ 的向量。
结果如下：
在这里插入图片描述

2. 复数乘法的可视化

复数的乘法则对应于复平面上的旋转与缩放。可以通过 MATLAB 将复数乘法的几何变化展示出来。 $z_1 \cdot z_2$ 可以看作将 $z_1$ 绕着原点旋转 $z_2$ 与实轴夹角度数，并将模长放大为原来的 $z_2|$ 倍

% 绘制复数乘法
figure;
hold on;
grid on;

% 绘制复数
quiver(0, 0, real(z1), imag(z1), 0, 'MaxHeadSize', 0.2, 'LineWidth', 2, 'Color', 'b', 'DisplayName', 'z1');
quiver(0, 0, real(z2), imag(z2), 0, 'MaxHeadSize', 0.5, 'LineWidth', 2, 'Color', 'r', 'DisplayName', 'z2');

% 绘制乘积结果
quiver(0, 0, real(z_product), imag(z_product), 0, 'MaxHeadSize', 0.15, 'LineWidth', 2, 'Color', 'g', 'DisplayName', 'z1 * z2');

% 设置图形
legend show;
axis equal;
title('复数乘法可视化');
xlabel('实数轴');
ylabel('虚数轴');