LeetCode 1524. 和为奇数的子数组数目

news2025/12/14 21:58:54

好的！让我们详细解释 LeetCode 1524. 和为奇数的子数组数目 这道题的思路和解法。

题目： https://leetcode.cn/problems/number-of-sub-arrays-with-odd-sum/description/

题目分析

问题描述：
给定一个整数数组 arr，返回其中和为奇数的子数组的数目。由于答案可能很大，结果需对 10^9 + 7 取余。

示例：
输入：arr = [1, 3, 5]
输出：4
解释：

子数组 [1]、[3]、[5] 的和均为奇数。
子数组 [1, 3, 5] 的和为 1 + 3 + 5 = 9，也是奇数。

暴力解法（超时）

思路：
枚举所有子数组，计算每个子数组的和并判断奇偶性。

代码：

class Solution {
public:
    int numOfSubarrays(vector<int>& arr) {
        const int MOD = 1e9 + 7;
        int count = 0;
        int n = arr.size();
        
        for (int i = 0; i < n; i++) {
            int sum = 0;
            for (int j = i; j < n; j++) {
                sum += arr[j];
                if (sum % 2 == 1) {
                    count = (count + 1) % MOD;
                }
            }
        }
        return count;
    }
};

复杂度：

时间复杂度：O(n²)
空间复杂度：O(1)

优化解法：前缀和 + 奇偶计数

核心思路：

前缀和的奇偶性：子数组 [i, j] 的和为 prefix[j+1] - prefix[i]，其中 prefix[k] 表示前 k 个元素的和。
奇偶性规律：若 prefix[j+1] 和 prefix[i] 的奇偶性不同，则子数组和为奇数。
哈希表统计：动态维护前缀和为奇数和偶数的次数，遍历数组时累加符合条件的子数组数目。

代码：

class Solution {
public:
    int numOfSubarrays(vector<int>& arr) {
        const int MOD = 1e9 + 7;
        int count = 0;
        int prefix = 0;      // 当前前缀和
        int odd = 0;         // 前缀和为奇数的次数
        int even = 1;        // 前缀和为偶数的次数（初始包含前缀和为0的情况）
        
        for (int num : arr) {
            prefix += num;
            if (prefix % 2 == 0) {
                // 当前前缀和为偶数，加上之前前缀和为奇数的次数
                count = (count + odd) % MOD;
                even++;
            } else {
                // 当前前缀和为奇数，加上之前前缀和为偶数的次数
                count = (count + even) % MOD;
                odd++;
            }
        }
        return count;
    }
};

复杂度：

时间复杂度：O(n)
空间复杂度：O(1)

详细解释

前缀和的奇偶性：
对于子数组 [i, j]，其和为 prefix[j+1] - prefix[i]。
- 若 prefix[j+1] 为偶数，prefix[i] 为奇数，则和为奇数。
- 若 prefix[j+1] 为奇数，prefix[i] 为偶数，则和为奇数。
动态维护奇偶次数：
- odd：记录遍历到当前位置时，前缀和为奇数的次数。
- even：记录遍历到当前位置时，前缀和为偶数的次数。
- 初始值：even = 1，因为空数组的前缀和为 0（偶数）。
累加结果：
- 若当前前缀和为偶数，则它可以与之前所有奇数前缀和形成有效子数组，累加 odd。
- 若当前前缀和为奇数，则它可以与之前所有偶数前缀和形成有效子数组，累加 even。