一、算法逻辑

1.1 基本概念

支持向量机（Support Vector Machine, SVM）是一种监督学习算法，核心目标是寻找一个最优超平面，最大化不同类别数据间的分类间隔（Margin）。其核心特性包括：

• 间隔最大化：通过几何间隔最大化提高泛化能力
• 核技巧：隐式映射到高维空间处理非线性问题
• 稀疏性：仅依赖支持向量决定模型

适用场景：

• 小样本、高维数据
• 非线性可分问题
• 对模型解释性要求不高的场景

1.2 核心思想

线性可分情况

设训练集 D = { ( x i , y i ) } i = 1 m , y i ∈ { − 1 , + 1 } D = \{(\boldsymbol{x}_i, y_i)\}_{i=1}^m, \quad y_i \in \{-1, +1\} D={(xi​,yi​)}i=1m​,yi​∈{−1,+1}
目标超平面方程：
$${\mathbf{w}}^T\mathbf{x}+b=0$$
分类决策函数：
$$f(\mathbf{x})=\text{sign}({\mathbf{w}}^T\mathbf{x}+b)$$

几何间隔定义：
$$\gamma =\frac{y_i({\mathbf{w}}^T{\mathbf{x}}_i+b)}{\Vert \mathbf{w}\Vert }$$

二、算法原理与数学推导

2.1 原始优化问题

最大化间隔等价于最小化权值范数：
$$\begin{array}{rl}\underset{\mathbf{w},b}{\min }& \frac{1}{2}\Vert \mathbf{w}{\Vert }^2\\ \text{s.t.}& y_i({\mathbf{w}}^T{\mathbf{x}}_i+b)\ge 1,i=1,2,...,m\end{array}$$

2.2 拉格朗日对偶

引入拉格朗日乘子$${\alpha }_i\ge 0$$
$$L(\mathbf{w},b,\mathbf{\alpha })=\frac{1}{2}\Vert \mathbf{w}{\Vert }^2-\sum _{i=1}^m{\alpha }_i[y_i({\mathbf{w}}^T{\mathbf{x}}_i+b)-1]$$

KKT条件：
$$\{\begin{array}{l}{\alpha }_i\ge 0\\ y_i({\mathbf{w}}^T{\mathbf{x}}_i+b)-1\ge 0\\ {\alpha }_i[y_i({\mathbf{w}}^T{\mathbf{x}}_i+b)-1]=0\end{array}$$

2.3 对偶问题

转化为对偶形式：
$$\begin{array}{rl}\underset{\mathbf{\alpha }}{\max }& \sum _{i=1}^m{\alpha }_i-\frac{1}{2}\sum _{i=1}^m\sum _{j=1}^m{\alpha }_i{\alpha }_j{y}_i{y}_j{\mathbf{x}}_i^T{\mathbf{x}}_j\\ \text{s.t.}& \sum _{i=1}^m{\alpha }_i{y}_i=0,{\alpha }_i\ge 0\end{array}$$

支持向量：对应$${\alpha }_i>0$$的样本点

2.4 核函数技巧

非线性映射：
设$$\varphi (\mathbf{x})$$为映射函数，核函数定义为：
$$\kappa ({\mathbf{x}}_i,{\mathbf{x}}_j)=\varphi ({\mathbf{x}}_i{)}^T\varphi ({\mathbf{x}}_j)$$

常用核函数：

核函数类型	表达式	特点
线性核	$${\mathbf{x}}_i^T{\mathbf{x}}_j$$	无映射，处理线性可分
多项式核	$$(\gamma {\mathbf{x}}_i^T{\mathbf{x}}_j+r{)}^d$$	可调阶数d
RBF核（高斯核）	$$\exp (-\gamma |{\mathbf{x}}_i-{\mathbf{x}}_j{|}^2)$$	应用最广泛

2.5 软间隔与松弛变量

引入松弛变量处理噪声数据：
$$\begin{array}{rl}\underset{\mathbf{w},b,\xi }{\min }& \frac{1}{2}\Vert \mathbf{w}{\Vert }^2+C\sum _{i=1}^m{\xi }_i\\ \text{s.t.}& y_i({\mathbf{w}}^T{\mathbf{x}}_i+b)\ge 1-{\xi }_i,{\xi }_i\ge 0\end{array}$$

惩罚系数C的作用：

• C→∞：严格硬间隔
• C→0：允许更大分类错误

三、模型评估

3.1 评估指标

指标	计算公式	适用场景
准确率	$$\frac{TP+TN}{TP+TN+FP+FN}$$	类别平衡时
ROC AUC	曲线下面积	综合性能评估
铰链损失	$$\max (0,1-y_i({\mathbf{w}}^T{\mathbf{x}}_i+b))$$	直接反映SVM优化目标

3.2 交叉验证调参

网格搜索示例：

from sklearn.svm import SVC
from sklearn.model_selection import GridSearchCV

params = {
    'C': [0.1, 1, 10],
    'gamma': ['scale', 'auto'],
    'kernel': ['rbf', 'poly']
}
grid = GridSearchCV(SVC(), params, cv=5)
grid.fit(X_train, y_train)

四、应用案例

4.1 手写数字识别

数据集：MNIST（60,000张28x28灰度图）
特征处理：

• 标准化像素值到[0,1]
• PCA降维保留95%方差

模型配置：

svm = SVC(kernel='rbf', C=10, gamma=0.001)
svm.fit(X_train_pca, y_train)

性能结果：

• 测试集准确率：98.2%
• 推理速度：120样本/秒

4.2 金融欺诈检测

业务场景：信用卡交易异常检测
特征工程：

• 交易金额标准化
• 时间窗口统计特征
• 用户行为序列建模

模型优化：

• 类别不平衡处理：class_weight=‘balanced’
• 使用RBF核捕捉非线性模式

产出效果：

• 欺诈交易召回率：89%
• 误报率：0.3%

五、经典面试题

问题1：SVM为什么采用间隔最大化？

关键点解析：

1. 结构风险最小化：最大化间隔等价于最小化VC维，提升泛化能力
2. 稀疏解性质：仅依赖支持向量，抗噪声能力强
3. 几何解释：最大间隔划分对未见数据最鲁棒

问题2：核函数的作用是什么？

核心理解：

1. 隐式映射：无需显式计算$$\varphi (\mathbf{x})$$，避免维度灾难
2. 非线性扩展：在低维空间计算等价于高维空间的内积
3. 灵活性：通过选择不同核函数适应数据结构

问题3：SVM如何处理多分类问题？

常见方案：

1. One-vs-One：构建$$\frac{k(k-1)}{2}$$个二分类器
2. One-vs-Rest：每个类与剩余类训练一个分类器
3. DAGSVM：有向无环图组织分类器

对比分析：

方法	计算复杂度	训练时间	存储需求
One-vs-One	O(k²)	长	大
One-vs-Rest	O(k)	短	小

六、高级优化技术

6.1 增量学习

处理大规模数据策略：

1. 分块训练：将数据分为多个子集逐块训练
2. 保留支持向量：每次迭代仅保留当前支持向量
3. 热启动：用已有解初始化新模型

6.2 多核学习

组合多个核函数：
$$\kappa ({\mathbf{x}}_i,{\mathbf{x}}_j)=\sum _{k=1}^K{\beta }_k{\kappa }_k({\mathbf{x}}_i,{\mathbf{x}}_j)$$
其中$${\beta }_k\ge 0$$为核权重系数

七、最佳实践指南

7.1 参数调优建议

参数	典型取值范围	作用说明
C	10⁻³ ~ 10³	控制间隔与误差的权衡
gamma	10⁻⁵ ~ 1	RBF核带宽，影响模型复杂度
epsilon	0.01 ~ 0.1	控制支持向量回归的容忍度

7.2 特征预处理要点

• 标准化：对线性核和RBF核必须执行
• 特征选择：使用RFECV进行递归特征消除
• 缺失值处理：SVM不支持缺失值，需提前填充

总结与展望

支持向量机凭借其坚实的数学基础和优秀的泛化性能，在模式识别、数据挖掘等领域持续发挥重要作用。未来发展方向包括：

1. 大规模优化算法：提升超大数据集训练效率
2. 深度核学习：结合深度神经网络学习核函数
3. 异构计算加速：利用GPU/TPU加速核矩阵计算