问题陈述
为什么行列式中某一行（列）的元素与另一行（列）对应元素的代数余子式乘积之和等于零？即：
∑ k = 1 n a i k C j k = 0 ( i ≠ j ) \sum_{k=1}^{n} a_{ik} C_{jk} = 0 \quad (i \ne j) k=1∑naikCjk=0(i=j)
∑ k = 1 n a k i C k j = 0 ( i ≠ j ) \sum_{k=1}^{n} a_{ki} C_{kj} = 0 \quad (i \ne j) k=1∑nakiCkj=0(i=j)
直观理解
这个性质的核心是行列式的行（列）线性相关性。具体来说：
- 行列式中的每一行（列）可以看作其他行（列）的线性组合时，行列式的值为零。
- 当我们用某一行（列）的元素乘以另一行（列）的代数余子式时，实际上在计算一个类似行列式的表达式，但其中两行（列）是相同的，因此结果必然为零。
严格证明
步骤 1：构造辅助矩阵
设 A A A 是一个 n × n n \times n n×n 的矩阵。我们构造一个新矩阵 B B B，其中：
- B B B 的第 j j j 行替换为 A A A 的第 i i i 行（即 b j k = a i k b_{jk} = a_{ik} bjk=aik）。
- 其他行与 A A A 相同。
B = [ a 11 a 12 ⋯ a 1 n ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ a i 1 a i 2 ⋯ a i n ← 第 i 行 ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ a i 1 a i 2 ⋯ a i n ← 第 j 行（与第 i 行相同） ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ a n 1 a n 2 ⋯ a n n ] B = \begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{i1} & a_{i2} & \cdots & a_{in} \quad \leftarrow \text{第 } i \text{ 行} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{i1} & a_{i2} & \cdots & a_{in} \quad \leftarrow \text{第 } j \text{ 行（与第 } i \text{ 行相同）} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{n1} & a_{n2} & \cdots & a_{nn} \end{bmatrix} B= a11⋮ai1⋮ai1⋮an1a12⋮ai2⋮ai2⋮an2⋯⋱⋯⋱⋯⋱⋯a1n⋮ain←第 i 行⋮ain←第 j 行（与第 i 行相同）⋮ann
由于 B B B 的第 j j j 行和第 i i i 行相同，所以 det ( B ) = 0 \det(B) = 0 det(B)=0。
步骤 2：按第 j j j 行展开 det ( B ) \det(B) det(B)
行列式可以按任意一行展开。我们按 B B B 的第 j j j 行展开：
det ( B ) = ∑ k = 1 n b j k C j k B \det(B) = \sum_{k=1}^{n} b_{jk} C_{jk}^B det(B)=k=1∑nbjkCjkB
其中 C j k B C_{jk}^B CjkB 是 B B B 的第 j j j 行第 k k k 列的代数余子式。
因为 B B B 的第 j j j 行就是 A A A 的第 i i i 行，所以 b j k = a i k b_{jk} = a_{ik} bjk=aik。
此外， C j k B C_{jk}^B CjkB 是删除 B B B 的第 j j j 行第 k k k 列后的子矩阵的行列式乘以符号因子。由于 B B B 和 A A A 只有第 j j j 行不同，而删除第 j j j 行后， B B B 的子矩阵与 A A A 的子矩阵相同，因此 C j k B = C j k C_{jk}^B = C_{jk} CjkB=Cjk，其中 C j k C_{jk} Cjk 是 A A A 的第 j j j 行第 k k k 列的代数余子式。
因此，
det ( B ) = ∑ k = 1 n a i k C j k \det(B) = \sum_{k=1}^{n} a_{ik} C_{jk} det(B)=k=1∑naikCjk
步骤 3：结合 det ( B ) = 0 \det(B) = 0 det(B)=0
由于 det ( B ) = 0 \det(B) = 0 det(B)=0，所以
∑ k = 1 n a i k C j k = 0 ( i ≠ j ) \sum_{k=1}^{n} a_{ik} C_{jk} = 0 \quad (i \ne j) k=1∑naikCjk=0(i=j)
几何解释
行列式的几何意义是矩阵所表示的线性变换对体积的缩放因子。
如果矩阵的两行（列）线性相关（比如完全相同），那么变换后的空间会被“压扁”到一个低维空间，体积变为 0。因此，行列式为 0。
当我们用一行（列）的元素乘以另一行（列）的代数余子式时，相当于在计算一个行列式，其中两行（列）是相同的（或成比例的），因此结果必然为 0。
例子验证
考虑矩阵：
A = [ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 ] A = \begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ 7 & 8 & 9 \\ \end{bmatrix} A= 147258369
验证：
∑ k = 1 3 a 1 k C 2 k = a 11 C 21 + a 12 C 22 + a 13 C 23 \sum_{k=1}^{3} a_{1k} C_{2k} = a_{11} C_{21} + a_{12} C_{22} + a_{13} C_{23} k=1∑3a1kC2k=a11C21+a12C22+a13C23
计算代数余子式 C 21 , C 22 , C 23 C_{21}, C_{22}, C_{23} C21,C22,C23，然后进行求和，验证结果为零。
总结
- 原因：行列式的某一行（列）与另一行（列）的代数余子式相乘求和，相当于计算一个“伪行列式”，其中两行（列）相同，因此结果为零。
- 应用：这一性质在伴随矩阵、逆矩阵和 Cramer 法则中非常重要。
- 几何意义：线性相关的行（列）导致空间“坍缩”，行列式为零。
