1. 路径
题目描述
小蓝学习了最短路径之后特别高兴，他定义了一个特别的图，希望找到图 中的最短路径。
小蓝的图由 2021 个结点组成，依次编号 1 至 2021。
对于两个不同的结点 a, b，如果 a 和 b 的差的绝对值大于 21，则两个结点 之间没有边相连；如果 a 和 b 的差的绝对值小于等于 21，则两个点之间有一条 长度为 a 和 b 的最小公倍数的无向边相连。
例如：结点 1 和结点 23 之间没有边相连；结点 3 和结点 24 之间有一条无 向边，长度为 24；结点 15 和结点 25 之间有一条无向边，长度为 75。
请计算，结点 1 和结点 2021 之间的最短路径长度是多少。
提示：建议使用计算机编程解决问题。
解题要点
由于你在图中使用了加权边，传统的 BFS 不能直接用于加权边的最短路径求解。对于加权图，通常使用 Dijkstra 算法来计算最短路径。
主要步骤：
-
使用 优先队列（最小堆）来帮助处理加权图。
-
使用 Dijkstra 算法来求解从节点
1到节点n的最短路径。
AC代码
import java.util.*;
class Edge{
int target;
int weight;
public Edge(int target,int weight) {
this.target=target;
this.weight=weight;
}
}
public class exercise1{
public static Scanner scan=new Scanner(System.in);
public static int gcd(int a,int b) {
return b==0?a:gcd(b,a%b);
}
public static int lcm(int a,int b) {
return (a*b)/gcd(a,b);
}
public static void main(String[] args) {
int n=2021;
List<List<Edge>>graph=new LinkedList<>();
for(int i=0;i<=n;i++) {
graph.add(new LinkedList<>());
}
for(int i=1;i<=n;i++) {
for(int j=i+1;j<=n;j++) {
if(j-i>21)continue;
else {
int weight=lcm(j,i);
graph.get(i).add(new Edge(j,weight));
graph.get(j).add(new Edge(i,weight));
}
}
}
//求1到n的最短路径（Dijkstra算法）
int[] dist = new int[n+1]; // 存储最短路径
Arrays.fill(dist, Integer.MAX_VALUE);
dist[1]=0;
// 优先队列，存储每个节点和它的当前距离
PriorityQueue<int[]>pq=new PriorityQueue<>(Comparator.comparingInt(a -> a[1])); // 按距离排序
pq.add(new int[]{1,0});
while(!pq.isEmpty()) {
int[] cur=pq.poll();
int u=cur[0];
int cd=cur[1];
// 如果当前节点的距离已经大于已知的最短距离，跳过
if(cd>dist[u])continue;
for(Edge ed:graph.get(u)) {
int v=ed.target;
int w=ed.weight;
int newd=cd+w;
if(newd<dist[v]) {
dist[v]=newd;
pq.add(new int[] {v,newd});
}
}
}
System.out.println(dist[n]);
}
}
2.排列字母
问题描述
小蓝要把一个字符串中的字母按其在字母表中的顺序排列。
例如，LANQIAO 排列后为 AAILNOQ。
又如，GOODGOODSTUDYDAYDAYUP 排列后为 AADDDDDGGOOOOPSTUUYYY。
请问对于以下字符串，排列之后字符串是什么？
WHERETHEREISAWILLTHEREISAWAY
AC代码
import java.util.*;
public class exercise1{
public static Scanner scan=new Scanner(System.in);
public static void main(String[] args) {
String s="WHERETHEREISAWILLTHEREISAWAY";
char[] a=s.toCharArray();
Arrays.sort(a);
for(int i=0;i<a.length;i++) {
System.out.print(a[i]);
}
}
}
3.饮料换购
题目描述
乐羊羊饮料厂正在举办一次促销优惠活动。乐羊羊 C 型饮料，凭 3 个瓶盖可以再换一瓶 C 型饮料，并且可以一直循环下去(但不允许暂借或赊账)。
请你计算一下，如果小明不浪费瓶盖，尽量地参加活动，那么，对于他初始买入的 n 瓶饮料，最后他一共能喝到多少瓶饮料。
输入描述
输入一个整数 n(0<n<1000)n(0<n<1000)，表示开始购买的饮料数量。
输出描述
输出一个整数，表示实际得到的饮料数
输入输出样例
输入
100
输出
149AC代码
import java.util.*;
public class exercise1{
public static Scanner scan=new Scanner(System.in);
public static void main(String[] args) {
int n=scan.nextInt();
int ans=0;
while(n>=3) {
n-=3;
ans+=3;
n+=1;
}
ans+=n;
System.out.println(ans);
}
}
4.七边形
问题描述
小蓝迷上了七边形，他正尝试用小球来拼接出他喜欢的七边形图案。 下图是他拼出的前四个七边形，第 11 至第 44 个七边形图案消耗的小球数量依次是 11、77、1818、3434。 请问对于第 2024060120240601 个七边形图案，需要消耗的小球数量是多少？
AC代码
（记得开long!!）
import java.util.Scanner;
public class Main {
public static void main(String[] args) {
Scanner scan = new Scanner(System.in);
long ans=0;
for(int i=1;i<=20240601;i++){
if(i==1)ans=1;
else{
ans+=i*3;
ans+=(i-2)*2;
}
}
System.out.println(ans);
scan.close();
}
}
5.完美数对
问题描述
蓝桥杯作为最热门的程序设计竞赛之一，主办方为了更好地评估选手的程序设计能力，新研制了一台用于检测选手程序设计能力的仪器。
主办方邀请了 NN 位同学进行检测，以验证机器的准确性。检测结果表示为数组 AA，其中第 ii 位同学检测出的能力值为 AiAi。
得知这一检测结果后，蓝桥杯的出题人小蓝获得了出题灵感。他希望统计满足以下条件的正整数对 (a,b)(a,b) 的数量，这些数对被称为 "完美数对"：
完美数对定义：对于数对 (a,b)(a,b)，若在数组 AA 中，数值 aa 至少出现了 bb 次，且数值 bb 至少出现了 aa 次，则数对 (a,b)(a,b) 被称为完美数对。
现在，请您协助小蓝解决这个问题。
输入格式
第一行输入一个整数 N(2≤N≤106)N(2≤N≤106) 表示接受检测的同学数量。
第二行输入 NN 个整数 A1,A2,A3,⋯,AN(1≤Ai≤106)A1,A2,A3,⋯,AN(1≤Ai≤106) 表示每位同学的能力值。
输出格式
输出一个整数表示答案。
样例输入
5
1 1 2 2 3
样例输出
4
样例说明
对于样例，数对 (1,1),(1,2),(2,1),(2,2)(1,1),(1,2),(2,1),(2,2) 满足条件，所以答案为 44。
AC代码
import java.util.*;
public class Main {
public static void main(String[] args) {
Scanner scan = new Scanner(System.in);
int n=scan.nextInt();
int[] a=new int[n];
for(int i=0;i<n;i++){
a[i]=scan.nextInt();
}
HashMap<Integer,Integer> hp=new HashMap<>();
for(int i=0;i<n;i++){
hp.put(a[i],hp.getOrDefault(a[i],0)+1); //不是更新，而是每一个都放进去
}
int ans=0;
//枚举hp里的每一个(HashMap的每一项)
for(HashMap.Entry<Integer,Integer> e:hp.entrySet()){
int x=e.getKey(); //值
int hashX=e.getValue(); //次数
for(int b=1;b<=hashX;b++){
if(hp.containsKey(b) && hp.get(b)>=x)ans++;
}
}
System.out.println(ans);
scan.close();
}
}6.排列高手
问题描述
第十六届蓝桥杯即将来临，组委会的专家们希望此次比赛能够更好地考察选手们的思维能力，因此特邀著名的排列高手——小蓝参与助阵！希望他能为本届蓝桥杯设计一道富有创意的排列题。
小蓝接到任务后，立即动起脑筋，口中大喊：“题来！”于是，一道关于排列的问题浮现：
给定一个大小为 nn 的排列，你可以任意调整排列的顺序，以使调整后的排列所有非空子数组的 mexmex 之和最小，你需要求出这个最小的 mexmex 之和。
其中 mexmex 表示最小的不在集合中的正整数，例如 mex([1,3,4])=2,mex([2,3,4])=1mex([1,3,4])=2,mex([2,3,4])=1。
排列：一个由 11 到 nn 的所有整数组成的序列，其中每个数字恰好出现一次。
现在请你尝试解决小蓝给出的这道问题。
输入格式
输入一行包括一个整数 n(1≤n≤105)n(1≤n≤105) 表示排列的大小。
输出格式
输出一个整数表示答案。
样例输入
3
样例输出
11
样例说明
对于样例，一种可能的最优排列情况为 [1,3,2][1,3,2]，其所有子数组 mexmex 之和为 1111。
其中 mex([1])=2,mex([1,3])=2,mex([1,3,2])=4,mex([3])=1,mex([3,2])=1,mex([2])=1mex([1])=2,mex([1,3])=2,mex([1,3,2])=4,mex([3])=1,mex([3,2])=1,mex([2])=1。
AC代码
import java.util.*;
public class Main {
public static void main(String[] args) {
Scanner scan = new Scanner(System.in);
int n=scan.nextInt();
//1 n n-1 .... 2
long ans = 0;
for(int i = n;i>=2;i--){
ans += i+1;
}
ans += n+1;
System.out.println(ans);
scan.close();
}
}7.美丽区间
问题描述
美丽区间是这样的一组区间：[L1,R1]、[L2,R2]、[L3,R3]... 构造美丽区间需要满足以下条件：
- L1=1
- Li≤Ri
- Ri−Li≥K
- 对于任意的 i>1，有 Li=Ri−1 + 1
- gcd(Li,Ri)=1，其中 gcd 指两个数的最大公约数
- 在满足上述条件的情况下，Li、Ri 之间的差尽可能的小。
输入格式
第一行输入一个整数 K。 第二行输入一个整数 T，表示有 T 组测试用例。 接下来 T 行，每行输入一个整数 n。
输出格式
对每个输入的整数 n，输出一行，包含一个整数，表示 n 属于第几个美丽区间。
样例输入
10
3
123
33
10
样例输出
11
3
1
样例说明
第 1 个美丽区间为：[1,11]。
第 2 个美丽区间为：[12,23]。
第 3 个美丽区间为：[24,35]。
⋯⋯
第 11 个美丽区间为：[120,131]。
评测用例规模与约定
对于 60% 的评测用例：1≤T≤10^3，1≤K≤10^6，1≤n≤10^6。
对于 100% 的评测用例：1≤T≤10^6，1≤K≤10^6，1≤n≤10^6。
AC代码
import java.util.*;
// 1:无需package
// 2: 类名必须Main, 不可修改
public class Main {
public static int gcd(int a,int b){
return b==0?a:gcd(b,a%b);
}
public static void main(String[] args) {
Scanner scan = new Scanner(System.in);
int k=scan.nextInt();
HashMap<Integer,Integer> hp=new HashMap<>();
int id=1;
int l=1;
int r=1;
for(int i=1;i<=1000000+10;i++){
l=i;
i+=k;
r=i;
while(gcd(l,r)!=1)r++;
i=r;
hp.put(r,id);
id++;
}
int t=scan.nextInt();
for(int i=1;i<=t;i++){
int n=scan.nextInt();
while(!hp.containsKey(n))n++;
System.out.println(hp.get(n));
}
scan.close();
}
}8.园丁
问题描述
小明是一位尽职尽责的园丁。这天他负责维护一棵树，树上有 n 个结点 1,2,…,n，根结点为 1，结点 i 的权值为 ai。
他需要更改一些结点的权值为任意正整数，使得对于任意一个至少有 2 个儿子结点的结点 i 满足：任意两个 i 的儿子结点的权值的乘积都不是完全平方数。
请问小明至少需要修改多少个结点的权值？
输入格式
输入共 n+1 行。 第一行为一个正整数 n。 第二行为 n 个由空格分开的正整数 a1,a2,…,an。 后面 n−1 行，每行两个正整数表示树上的一条边。
输出格式
输出共 1 行，一个整数表示答案。
样例输入
6
1 2 9 8 4 4
1 2
1 3
1 4
2 5
2 6
样例输出
2
样例说明
其中一种方案：将结点 2,5 的权值分别修改为 3,2。
评测用例规模与约定
对于 20% 的评测用例，保证 n≤10^3。
对于 100% 的评测用例，保证 n≤10^5，1≤ai≤10^9。
9.分组
问题描述
小明班上有 n 名同学，老师准备按上一次考试的分数对同学们进行分组，第 i 名同学的分数为 ai。老师希望把同学们分为尽可能多的小组，且满足每个小组中的同学分数的最大值至少是最小值的两倍。请问最多能分出多少个小组？如果把所有人分到同一组都不能满足条件则输出 0。
输入格式
输入共 2 行。 第一行为一个正整数 n。 第二行为 n 个由空格分开的正整数表示 a1,a2,…,an。
输出格式
输出共 1 行，一个整数表示答案。
样例输入
6
3 5 2 1 4 2
样例输出
3
样例说明
其中一种分组方式：第一组 {a4,a1}={1,3}，第二组 {a3,a2}={2,5}，第三组 {a6,a5}={2,4}。
AC代码
贪心，由于最多可以有n / 2组（不可能1个人一组），所以可以先将数组排序，使用双指针匹配，左指针从0开始，右指针从n/2开始，贪心地选取最小的值与右半部分匹配。
import java.util.*;
// 1:无需package
// 2: 类名必须Main, 不可修改
public class Main {
public static void main(String[] args) {
Scanner scan = new Scanner(System.in);
int n=scan.nextInt();
int [] a=new int [n];
for(int i=0;i<n;i++)a[i]=scan.nextInt();
Arrays.sort(a);
int ans=0;
for(int l=0,r=n/2;r<n;r++){
if(2*a[l]>a[r])continue;
if(r>=n)break;
l++;
ans++;
}
System.out.println(ans);
scan.close();
}
}10.喜糖摆放
问题描述
在过年时，蓝桥村的孩子们充满活力，他们化身为捣蛋鬼，挨家挨户寻讨喜糖。他们一共收到了 NN 颗糖，每颗糖的甜度各不相同，第 ii 颗糖的甜度为 AiAi。
然而，如何分配这些喜糖却成了一个令人困扰的问题，因为糖的数量不能完全平均分给孩子们。
蓝桥村的村长察觉到了这个困难，于是说道："我有一个问题，只要你们中有小朋友能解决，我就会提供足够的喜糖，使得你们可以均分。"
问题陈述如下：
每次可以选择将任意位置的糖果移到最后，求使得糖果按照升序排列所需的最小操作次数。
作为蓝桥村最聪明的孩子之一，你能否尝试解决这个问题呢？
输入格式
第一行输入一个整数 N(2≤N≤105)N(2≤N≤105) 表示糖果数量。
第二行输入 NN 个整数 A1,A2,⋯,AN(1≤Ai≤109)A1,A2,⋯,AN(1≤Ai≤109) 表示糖果的甜度，数据保证 A1,A2,⋯,ANA1,A2,⋯,AN 各不相同。
输出格式
输出一个整数表示答案。
样例输入
5
1 3 2 4 5
样例输出
3AC代码
import java.util.*;
public class Main {
public static void main(String[] args) {
Scanner scan = new Scanner(System.in);
int n=scan.nextInt();
int[] a=new int[n];
int[] b=new int[n];
for(int i=0;i<n;i++){
a[i]=scan.nextInt();
b[i]=a[i];
}
Arrays.sort(b);
int j=0;
for(int i=0;i<n;i++){
if(a[i]==b[j]){
j++;
}
}
System.out.println(n-j);
scan.close();
}
}
