一、概念

二、结点的定义

2.1 键值对pair

2.2 定义细节

三、 AVL树的插入操作

3.1 平衡因子调整规则

3.2 旋转规则

3.2.1 新节点插入较高左子树的左侧 — 左左:右单旋

3.2.2 新节点插入较高右子树的右侧 — 右右:左单旋

3.2.3 新节点插入较高左子树的右侧 — 左右:左右双旋

3.2.4 新节点插入较高右子树的左侧 — 右左:右左双旋

四、 AVL树的删除操作

五、 AVL树性能分析

六、完整代码

一、概念

二叉搜索树虽可以缩短查找的效率，但若数据有序或接近有序二叉搜索树将退化为单支树，查找元素相当于在链表中搜索元素，效率低下。

因此，两位俄罗斯的数学家G.M.Adelson-Velskii和E.M.Landis在1962年发明了一种解决上述问题的方法：当向二叉搜索树中插入新结点后，若能保证每个结点的左右子树高度之差的绝对值不超过1(需要对树中的结点进行调整)，即可降低树的高度，从而减少平均搜索长度。

一棵AVL树是空树或具有以下性质的二叉搜索树：
1. 它的左右子树都是AVL树
2. 左右子树高度之差(简称平衡因子)的绝对值不超过1(-1/0/1) 右子树高度减去左子树高度
3. 若一棵二叉搜索树是高度平衡的，其就是AVL树。
若它有n个结点，其高度可保持在log_2 n，搜索时间复杂度O(log_2 n)
4. 不允许键值冗余

二、结点的定义

2.1 键值对pair

pair是用来表示具有一一对应关系的一种结构，该结构中一般只包含两个成员变量key和value，key代表键值，value表示与key对应的信息

SGI-STL中对于pair的定义:

template <class T1, class T2>
struct pair
{
    typedef T1 first_type;
    typedef T2 second_type;
    T1 first;
    T2 second;
    pair(): first(T1()), second(T2()) {}
    pair(const T1& a, const T2& b): first(a), second(b) {}
};

但使用时需要显示指定元素类型会导致代码过长，并且频繁使用时较为麻烦，于是出现make_pair进行自动类型推导。其定义为:

template <class T1,class T2>
pair<T1,T2> make_pair (T1 x, T2 y)
{    
    return ( pair<T1,T2>(x,y) );
}

2.2 定义细节

结点中存储了左子树指针、右子树指针和父指针以及一个键值对(即数据域)、平衡因子。不过平衡因子并不是必要的，没有平衡因子同样可以实现AVL树。

struct AVLTreeNode {
	AVLTreeNode(const pair<K,V>& kv) :
            _parent(nullptr), _left(nullptr), 
            _right(nullptr),_data(kv),_balance_factor(0) {}

	AVLTreeNode<K, V>* _parent;
	AVLTreeNode<K, V>* _left;
	AVLTreeNode<K, V>* _right;

	pair<K, V> _data;
	int _balance_factor;//平衡因子
};

普通二叉树和搜索二叉树都是二叉链(没有父指针)，为什么AVL树会需要使用三叉链呢？

这个问题可以从后面的讲解得到答案。
插入和删除结点、旋转、平衡因子调整，这些操作都会需要频繁的使用父指针，使用三叉链可以减少查找父结点的时间复杂度并且使得AVL树的实现更加方便。

三、 AVL树的插入操作

AVL本质上就是具有特殊性质的二叉搜索树，其插入操作与二叉搜索树较为相似，不过更为复杂。

AVL树的插入过程可以分为两步
1. 按照二叉搜索树的方式插入新节点 2. 调整节点的平衡因子

bool insert(const pair<K, V>& kv) {
    //第一步: 按照二叉搜索树的方式插入新节点 
	if (_root == nullptr) {
		_root = new TreeNode(kv);
		return true;
	}

	TreeNode* parent = nullptr;
	TreeNode* cur = _root;
	while (cur != nullptr) {
		if (kv.first > cur->_data.first) {
			parent = cur;
			cur = cur->_right;
		}
		else if (kv.first < cur->_data.first) {
			parent = cur;
			cur = cur->_left;
		}
		else return false;
	}
	cur = new TreeNode(kv);
	if (kv.first > parent->_data.first) {
		parent->_right = cur;
    }
	else { //kv.first < parent->_data.first)
		parent->_left = cur;
	}
	cur->_parent = parent;
    
    //调整平衡因子
    //………………    
}

但是平衡因子是如何调整的呢？

3.1 平衡因子调整规则

1. 若新增结点在其父结点的左边，则父结点的平衡因子 -1；若新增结点在其父结点的右边，则父结点的平衡因子 +1。

2. 更新后，若父结点的平衡因子为1 或 -1，说明插入前父结点的平衡因子为0,插入后父结点所在子树的高度发生变化，需要继续向上更新

3.更新后，若父结点的平衡因子为0，说明插入前父结点的平衡因子为1 或 -1，插入到了父结点矮的一边，父结点所在子树的高度并未发生变化，所以不需继续向上更新

4.更新后，若父结点的平衡因子为2 或 -2，说明插入前父结点的平衡因子为1 或 -1(达到平衡临界值)，插入后已经破坏平衡，此时父结点所子树需要进行旋转处理

5.更新后，若父结点的平衡因子的绝对值大于2(理论上而言不可能)，说明插入前该树就不是AVL树，需检查之前的操作。

while (parent != nullptr){
    //规则1
    if (cur == parent->_right) ++parent->_balance_factor;
	else --parent->_balance_factor;
    
    //规则2
	if(parent->_balance_factor == 0) break;
    
    //规则3
	else if (abs(parent->_balance_factor) == 1) {
		cur = parent;
		parent = parent->_parent;
	}

    //规则4
	else if (abs(parent->_balance_factor) == 2) {
		//需要旋转
        //………………
	}

    //规则5
    else {
		assert(false);
	}
    return true;
}

3.2 旋转规则

AVL树的旋转可以分为四种: