FFT来源

FFT来源于DFT离散傅里叶变换，DFT的计算公式为：
$\sum_{n=0}^{N-1} x(n)W_{N}^{kn}$
为什么不直接用DFT计算，而要用FFT的原因在于根据上面的公式计算量会很大。
我们以N等于5为例实际计算一下：
$\begin{array}{c} X(0) = x(0) \times W_{5}^{0} + x(1) \times W_{5}^{0}+x(2) \times W_{5}^{0}+x(3) \times W_{5}^{0}+x(4) \times W_{5}^{0}\\ X(1) = x(0) \times W_{5}^{0} + x(1) \times W_{5}^{1}+x(2) \times W_{5}^{2}+x(3) \times W_{5}^{3}+x(4) \times W_{5}^{4}\\ ... \end{array}$
可以看出来，每算一个X(k)就要计算5次乘法和4次加法，对于计算机来说，乘法运算要比加法运算耗时且更耗资源。也就是说，根据DFT完成一次完整的运算要进行N的2次方次乘法运算，N越大，计算就越困难。FFT能够明显降低运算次数，因此工程中不使用DFT，而用FFT进行计算。

FFT为什么快

FFT利用了旋转因子的周期性和特殊性，避免了一些不必要的运算，因此FFT执行起来比较快。旋转因子
$W_{N}^{k n}=e^{-j(2 \pi / N) k n} \text { 是旋转因子 }$

FFT的种类

常规的FFT按基分类可以分为基2-FFT、基4-FFT、混合基FFT。一般来讲，基2FFT适用于采样序列的个数是2的N次方的情况，同理基4FFT适用于采样序列的个数是4的N次方的情况，基4FFT的速度要比基2FFT更快。混合基FFT是先用基4FFT处理前4的N次方个数据在处理后面2的N次方的数据。

基2FFT推导

基 2 FFT 算法利用了旋转因子的以下周期性特性。
$\begin{array}{l} W_{N}^{0}=e^{-j(2 \pi / N) 0}=e^{-j(0)}=\cos (0)+j \sin (0)=1 \\ W_{N}^{k N / 2}=e^{-j(2 \pi / N) k N / 2}=e^{-j(\pi k)}=(\cos (-\pi)+j \sin (-\pi))^{k}=(-1)^{k} \\ W_{N}^{2 k n}=e^{-j(2 \pi / N) 2 k n}=e^{-j(2 \pi /(N / 2)) k n}=W_{N / 2}^{k n} \end{array}$
利用这些特性，可以把 N 点 DFT 分解为以下两个 N/2 点 DFT
$\begin{aligned} X(k) &=\sum_{n=0}^{N-1} x(n) W_{N}^{n k}=\sum_{n=0}^{N / 2-1} x(n) W_{N}^{n k}+\sum_{n=N / 2}^{N-1} x(n) W_{N}^{n k} \\ &=\sum_{n=0}^{N / 2-1}\left[x(n) W_{N}^{n k}+x(n+N / 2) W_{N}^{(n+N / 2) k}\right] \\ &=\sum_{n=0}^{N / 2-1}\left[x(n) W_{N}^{n k}+x(n+N / 2) W_{N}^{k N / 2} W_{N}^{n k}\right] \\ &=\sum_{n=0}^{N / 2-1}\left[x(n) W_{N}^{n k}+(-1)^{k} x(n+N / 2) W_{N}^{n k}\right] \\ &=\sum_{n=0}^{N / 2-1}\left[x(n)+(-1)^{k} x(n+N / 2)\right] W_{N}^{n k} \end{aligned}$
让我们把输出序列 X(k), k= 0,…, N-1 分解成两个序列：
偶数序列和奇数序列
其中偶数序列X(2r)，r=0,…,N/2-1
$\begin{aligned} X(2 r) &=\sum_{n=0}^{N / 2-1}\left[x(n)+(-1)^{2 r} x(n+N / 2)\right] W_{N}^{2 n r} \\ &=\sum_{n=0}^{N / 2-1}[x(n)+x(n+N / 2)] W_{N}^{2 n r} \\ &=\sum_{n=0}^{N / 2-1}[x(n)+x(n+N / 2)] W_{N / 2}^{n r} \\ &=D F T_{N / 2}(x(n)+x(n+N / 2)) \end{aligned}$
基数序列X(2r+1)，r=0,…N/2-1
$\begin{aligned} X(2 r+1) &=\sum_{n=0}^{N / 2-1}\left[x(n)+(-1)^{(2 r+1)} x(n+N / 2)\right] W_{N}^{n^{*}(2 r+1)} \\ &=\sum_{n=0}^{N / 2-1}[x(n)-x(n+N / 2)] W_{N}^{n} W_{N}^{2 n r} \\ &=\sum_{n=0}^{N / 2-1}\left\{[x(n)-x(n+N / 2)] W_{N}^{n}\right\} W_{N / 2}^{n r} \\ &=D F T_{N / 2}\left((x(n)-x(n+N / 2)) W_{N}^{n}\right) \end{aligned}$
按以上方法反复的分解 N 点 DFT 成 2/N 点 DFT 直到 N=2，使得 N 点傅立叶变换的运算复杂度由
原来的 N2降到 Nlog2N，这是非常显著的改进。这个算法也被称为频域抽取(Decimate-InFrequency, DIF)FFT 算法。。
用一个基2 8 点FFT的图表示上述过程
在这里插入图片描述