众所周知，选择示波器时经常会用到5倍法则，其实不仅仅是针对带宽，当涉及到快沿信号上升时间测试时，根据上升时间选择示波器也会用到5倍法则。本文将分别对这两种情况下的5倍法则展开讨论，并介绍当考虑示波器和探头构成的整个测试系统时又该如何选择。
1. 示波器带宽选择时的5倍法则
所谓5倍法则，就是为了保证信号的幅度测试精度，示波器的带宽至少要选择为信号频率的5倍！这通常针对于正弦波信号，因为其频谱只有一根谱线。而对于脉冲信号，由于理论上具有无数个谐波，通常将示波器带宽选择为所关注的最高次谐波频率的5倍。
为什么按照5倍法则选择示波器的带宽呢？如果不按照这个法则，对于信号幅度测试精度有多大影响呢？选择示波器带宽时，5倍法则主要适用于哪一类示波器？
为了解释这些问题，首先需要了解一下示波器的模拟带宽。示波器的模拟通道具有低通滤波器的频率响应，带宽就是指该低通滤波器的3dB截止频率。如果测试一个频率与示波器标定带宽相同的正弦波信号，电压幅度测试结果将下降为真实电压值的0.707倍，如果用对数表示，则测量幅度将降低3dB。
可将示波器的模拟通道等效为一个RC低通滤波器，为了简便起见，此处只考虑一阶RC低通滤波器，其等效电路及幅频响应如图1所示。一阶RC低通滤波器的幅频响应表达式可写为：
图1. 一阶RC低通滤波器电路模型及其幅频响应
使得传输系数下降至0.707时的频率称为低通滤波器的截止频率，或者称为3dB带宽，据此可得
经计算得
代入幅频响应函数后得
由图1中的幅频响应可知，随着频率的不断提高，信号经过滤波器时的衰减越大，这也意味着测得的信号幅度误差越大。如何保证信号的幅度测试精度呢？
很明显，当示波器的带宽远远大于信号的频率时，才可以得到非常高的幅度测试精度。但是，示波器带宽越大，成本越高，实际选择时必须折中考虑成本和测试精度。业界通常采用5倍法则选择示波器的带宽，此时可以保证至少98%的幅度测试精度。
假设待测正弦波信号的幅度为1V，角频率为ω0，当测试精度不低于98%时，则满足如下关系式
进一步化简可得
这表明，当测试正弦波信号时，只有在示波器的带宽不低于正弦波信号频率的4.93倍时，才能保证至少98%的测试精度。为了方便，通常建议示波器带宽至少为信号频率的5倍，这就是5倍法则的由来。
表1. 测试不同频率的正弦波时对应的幅度精度
至于是否按照5倍法则选择示波器的带宽对测试精度有多大影响，在示波器带宽固定的情况下，表1给出了不同频率的正弦波信号对应的理论测试精度。显然，示波器带宽相对于信号频率越大，幅度测试精度越高！
选择示波器时必须要遵循5倍法则吗？可以肯定的是，带宽大是有好处的，尤其是针对于经济型的示波器而言(BW≤1GHz)。因为通常并不会对这类示波器的频率响应做相应补偿，其幅频响应平坦度并不好。而且，这类示波器模拟通道基本就是1阶RC低通滤波器的频响，如果要求98%的测试精度，就要按照5倍法则选择示波器带宽。
而对于中高端示波器，示波器内部通常都引入了模拟通道的补偿算法，可以得到比较平坦的幅频响应，因此，对于这类示波器可以不按照5倍法则进行选择。值得一提的是，对模拟通道的补偿并不会扰乱测试，相反，可以大大改善测试效果，提高信号保真度，尤其是针对于宽带信号以及高速数字信号的测试，这种补偿是至关重要的。
2. 示波器结合探头使用时，测试系统的带宽如何确定？
前面介绍了选择带宽时5倍法则的由来，接下来介绍当示波器结合探头使用时，整个测试系统的带宽由谁决定，并为下一步推导上升时间的级联公式做准备。
与示波器的模拟通道类似，探头也呈现为低通滤波器的频率响应。很明显，当示波器带宽远远大于探头带宽时，系统的带宽取决于探头；当探头的带宽远远大于示波器的带宽时，系统的带宽取决于示波器。
通常认为，测试系统的带宽和示波器及探头的带宽满足如下关系：
其实，当示波器带宽和探头带宽相当时，采用这个公式计算得到的系统带宽的误差是比较大的。示波器和探头构成的测试系统的幅频响应表达式为
类似地，当系统的传输系数下降至0.707时的频率即为系统的3dB带宽，这意味着
化简可得
如果将上式中的高次项忽略，则便可以得到上面的结论。
那么能否将高次项忽略呢？当示波器带宽和探头带宽差异较大时，高次项相对较小，是可以忽略的。二者带宽越接近，则忽略高次项带来的误差越大，当二者带宽相同时，使用上式计算的系统带宽的误差最大，可以达到25%的误差。但可以肯定的是，总体的系统带宽是小于示波器和探头带宽的！
尽管如此，对于中高端示波器和有源探头而言，由于可以对探头和模拟通道的频响做补偿，因此即使二者带宽相同，也可以满带宽使用。比如，示波器带宽为16GHz，探头带宽也为16GHz，则系统带宽也可以达到16GHz。而经济型示波器却没有这种补偿频响的功能，系统带宽会变窄，使用时要特别注意。
3. 按照上升时间选择示波器时的5倍法则
本节将首先介绍带宽与上升时间的关系，并给出理论推导；然后着眼于示波器和探头构成的整个测试系统，描述了系统的上升时间与示波器和探头的上升时间有着怎样的关系；最后道出结论，为了提高测试精度，建议采用5倍法则进行选择。
对于任意一个LTI (线性时不变)系统，当施加一单位阶跃信号时对应的零状态响应称为单位阶跃响应(简称为阶跃响应)，该过程可以理解为其瞬态响应过程，响应的快慢取决于系统带宽，一般使用上升时间衡量。系统带宽越大，则瞬态响应速度越快，上升时间也越短。对于示波器和探头，亦是如此。
示波器和探头的上升时间与带宽之间具有怎样的量化关系？
示波器的模拟通道和探头均呈现为低通滤波器的特性，为了便于推导，此处假设二者均具有一阶RC低通滤波器的频响。
如果要确定上升时间，则需要从阶跃响应入手，一阶RC低通滤波器的阶跃响应为
式中，
为滤波器的时间常数，且
如果按照10%~90%的规则定义上升时间，则可以按照如下方法进行计算。
在t=0时刻，信号电压为0.
假设t1时刻，信号电压上升至0.1 V，则满足：
假设t2时刻，信号电压上升至0.9 V，则满足：
经计算可得上升时间为：
进一步化简得
对于低通滤波器而言，3dB截止频率即为3dB带宽，因此可以得到关于带宽与上升时间关系的经典公式：
该公式是基于一阶RC低通滤波器频响推导的，对于BW ≤ 1GHz的示波器和探头而言，基本都适用。如果是更高带宽的中高端示波器和探头，其通道依然相当于低通滤波器，但通常并不是一阶低通滤波器的频响，所以上述公式中的系数不再是0.35，而是位于0.4~0.45之间。
对于示波器和探头构成的测试系统，总体的上升时间如何推算呢？
前面已经介绍了测试系统带宽与示波器和探头带宽之间的关系，结合带宽与上升时间的关系，则整个测试系统与示波器和探头的上升时间满足：
也就是说，整个测试系统的上升时间恶化了。
对于待测的快沿信号而言，定义其等效3dB带宽为BWsignal，与上升时间也可以近似等效于上面的关系式。如果使用示波器和探头测试该快沿信号，则信号等效3dB带宽的测量值与测试系统的带宽近似满足如下关系：
再根据带宽与上升时间的关系，将上式进一步化简得
由此可见，实际测量的快沿信号的上升时间与系统的上升时间有很大关系。
通常推荐测试系统的上升时间不大于待测信号上升时间的1/5，以提高测试精度，这就是在快沿测试过程中的5倍法则！
表2. 不同的系统上升时间对应的测试误差
表2给出了测试某一快沿信号时，不同的系统上升时间对应的测试误差。系统上升时间相对于信号上升时间越小，则测试误差越小，测试精度越高。当系统上升时间为信号上升时间的1/5时，测试精度可以达到98%。这也是在该测试场景下使用5倍法则的原因！
为了进一步验证，分别将示波器的带宽限定为1GHz、500MHz和200MHz，测试同一快沿脉冲信号的波形如图2所示。当带宽不足时，测试系统上升时间增大，严重恶化了测试精度。
图2. 带宽分别限定为1GHz、500MHz和200MHz时测试同一快沿信号的结果
小结
本文描述并解释了在选择示波器时常用的5倍法则，该法则不仅适用于示波器带宽的选择，也适用于测试快沿信号时系统自身上升时间的选择。对于级联系统的等效带宽和上升时间，文中亦有描述。为了提高幅度和上升时间测试精度，强烈推荐采用5倍法则选择示波器。
END
来源：浅谈选择示波器时的“5倍法则” - RFASK射频问问
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