电子技术——伯德图与反馈

增益和相位边距

从上两节我们知道环路增益 $A\beta$ 可以决定一个系统的稳定性，一个更加简单和有效的方法是我们可以绘制 $A\beta$ 的伯德图（因为相位可以达到360度，因此这是一个四阶响应系统）：

上图中的负反馈网络是稳定的，因为在其180度相移点 ${\omega }_{180}$ 的地方，对应的幅值小于单位一，我们称此时的幅值到单位一的间距称为 增益边距 ，通常使用分贝单位。增益边距表明在系统变得不稳定之前还能增加的闭环增益，在设计反馈放大器中，通常留出足够的增益边距，为了让外界因素（如温度）对闭环增益的影响起到缓冲作用。

另外，如果一个系统是稳定的，那么在其 $|A\beta |$ 大于一的部分，此时对应的相位差应该小于 $180$ 度，也就是说，在单位增益点 ${\omega }_1$ 的地方对应的频率应该大于 $-180$ ，此时我们记其到 $-180$ 的距离为 相位边距 。

相位边距对闭环响应的影响

一般的反馈放大器设计中，都让其相位边距大于45度。为了说明相位边距对闭环响应的影响，我们假设一个理想的闭环反馈 $A_0\beta \gg 1$ 此时的中频闭环响应为 $1/\beta$ 。我们可以将单位增益出的环路增益写作：

$$A(j{\omega }_1)\beta =1\times e^{-j\theta }$$

这里：

$$\theta =180^{\circ }-phasemargin$$

带入：

$$A_f(j{\omega }_1)=\frac{(1/\beta )e^{-j\theta }}{1+e^{-j\theta }}$$

则其大小为：

$$|A_f(j{\omega }_1)|=\frac{1/\beta }{|1+e^{-j\theta }|}$$

带入 $\theta =180^{\circ }-45^{\circ }$ ：

$$|A_f(j{\omega }_1)|=1.3\frac{1}{\beta }$$

这说明此时的增益是中频增益的1.3倍。相位边距越小，这个值就越大，最终当相位边距为零的时候，这个值为无穷，此时系统是不稳定的。

另外一种分析方法

有时候若想分析多种 $\beta$ 对放大器的影响，我们可以先单独绘制出 $A(s)$ 的伯德图，现在假设 $\beta$ 与频率无关，此时再绘制直线 $20\log \frac{1}{\beta }$ 两个图像的差值即为闭环增益：

$$20\log |A(j\omega )|-20\log \frac{1}{\beta }=20\log |A\beta |$$

如图：

此时单位频率点就是两个曲线的交点，如图上面的曲线(a)对应的负反馈放大器是稳定的，而(b)则是不稳定的。

一般根据经验来说，相位差在180度时总是发生在-40dB/decade的区间中，我们需要保证两个直线的交点在-20dB/decode中（称为 关闭斜率 ），就基本可以保证负反馈放大器是稳定的，并且留有大于45度的相位边距。