剑指 Offer 46. 把数字翻译成字符串

难度：$middle$

其实就是有条件的 青蛙跳格子 问题。

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题目描述

给定一个数字，我们按照如下规则把它翻译为字符串：0 翻译成 “a” ，1 翻译成 “b”，……，11 翻译成 “l”，……，25 翻译成 “z”。一个数字可能有多个翻译。请编程实现一个函数，用来计算一个数字有多少种不同的翻译方法。

示例 1:

输入: 12258
输出: 5
解释: 12258有5种不同的翻译，分别是"bccfi", "bwfi", "bczi", "mcfi"和"mzi"

提示：

• $0<=num<2^{31}$

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算法

(动态规划) $O(n)$

翻译的过程可以分为两种情况：

• 首先我们可以把每一位单独翻译
• 然后我们考虑组合某些连续的两位

那么我们可以归纳出翻译的规则，字符串的第 $i$ 位置：

• 可以单独作为一位来翻译
• 如果第 $i-1$ 位和第 $i$ 位组成的数字在 10 到 25 之间，可以把这两位连起来翻译。含有前导零的两位数不在题目规定的翻译规则中，比如 [1, 4, 02]这种翻译是不对的。

我们可以用 $f(i)$ 表示以第 $i$ 位结尾的前缀串翻译的方案数。考虑第 $i$ 位单独翻译和与前一位连接起来再翻译对 $f(i)$ 的贡献。单独翻译对 $f(i)$ 的贡献为 $f(i-1)$；如果第 $i-1$ 位存在，并且第 $i-1$ 位和第 $i$ 位形成的数字 $x$ 满足 $10\le x\le 25$，那么就可以把第 $i-1$ 位和第 $i$ 位连起来一起翻译，对 $f(i)$ 的贡献为 $f(i-2)$，否则为 $0$。我们可以列出这样的动态规划转移方程：

$$f(i)=f(i-1)+f(i-2)[i-1\ge 0,10\le x\le 25]$$

边界条件为 $f[0]=1$，下文有解释。

复杂度分析

• 时间复杂度：$O(n)$

• 空间复杂度 : $O(n)$，字符串使用额外的空间。

C++ 代码

class Solution {
public:
    int translateNum(int num) {
        string s = to_string(num);
        int n = s.size();
        vector<int> f(n + 1);
        f[0] = 1;

        for (int i = 1; i <= n; i ++) {
            f[i] = f[i - 1];

            if (i > 1) {
                int t = (s[i - 2] - '0') * 10 + (s[i - 1] - '0');
                // 为什么大于10， 因为含有前导零的两位数不在题目规定的翻译规则中，比如02、03等等
                if (t >= 10 && t <= 25) f[i] += f[i - 2];
            }
        }

        return f[n];
    }
};

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Q：为什么一个数字都没有的方案数是 1 ？

A：f[0] 代表翻译前 0 个数字的方法数，这样的状态定义其实是没有实际意义的，但是 f[0] 的值需要保证边界是对的，即 f[1] 和 f[2] 是对的。比如说，翻译前 1 个数只有一种方法，将其单独翻译，即 f[1] = f[1 - 1] = 1。翻译前两个数，
如果第 1 个数和第 2 个数可以组合起来翻译，那么 f[2] = f[1] + f[0] = 2 ，否则只能单独翻译第 2 个数，即 f[2] = f[1] = 1。因此，在任何情况下 f[0] 取 1 都可以保证 f[1] 和 f[2] 是正确的，所以 f[0] 应该取 1 。