【数据结构】红黑树

news2025/8/2 7:48:35

红黑树

  • 一、红黑树的概念
  • 二、红黑树的接口
    • 2.1 插入
  • 三、验证
  • 四、源码

一、红黑树的概念

在这里插入图片描述
红黑树也是一个二叉搜索树，他是通过对任何一条从根到叶子的路径上各个结点着色方式的限制，最长路径长度不超过最短路径长度的 2 倍保持近似平衡。他在每个节点添加了一个变量用来表示颜色 ：Black或者Red，为了满足上面的条件，着色必须满足性质：

1️⃣每个结点不是红色就是黑色
2️⃣ 根节点是黑色的
3️⃣ 如果一个节点是红色的，则它的两个孩子结点是黑色的(没有连续的红色节点)
4️⃣ 对于每个结点，从该结点到其所有后代叶结点的简单路径上，均包含相同数目的黑色结点
5️⃣ 每个叶子结点都是黑色的(此处的叶子结点指的是空结点)

由此可以满足最长路径长度不超过最短路径长度的 2 倍（通过第四点就可以看出）。

既然不能保证绝对平衡，那么搜索性能肯定不如AVL树，那么为什么还要有红黑树呢？

首先要知道AVL树保持平衡的方法是频繁的旋转，而红黑树则不需要严格的平衡，会少很多旋转。

二、红黑树的接口

红黑树节点定义：
节点需要有个颜色的变量，可以使用枚举的方法：

enum Colour
{
	RED,
	BLACK,
};

template <class K, class V>
struct RBTreeNode
{
	RBTreeNode(const pair<K, V>& kv)
		: _kv(kv)
		, _left(nullptr)
		, _right(nullptr)
		, _parent(nullptr)
		, _col(RED)
	{}

	pair<K, V> _kv;
	AVLNode<K, V>* _left;
	AVLNode<K, V>* _right;
	AVLNode<K, V>* _parent;
	Colour _col;
};

2.1 插入

我们可以看到节点初始化的时候默认为RED，因为如果要插入BLACK，那么一定会导致错误，不满足对于每个结点，从该结点到其所有后代叶结点的简单路径上，均包含相同数目的黑色结点。
所以只能把新节点默认设置为RED，因为如果是红色有可能父节点是黑色，这样就没有出现连续的红色。
总结一下：

插入黑色节点一定有问题，插入红色节点有可能会出问题。

插入的流程根AVL树一样，检查父亲节点，如果是黑就结束，如果是红就要调整红黑树。

为了方便说明，cur为当前节点，p为父节点，g为祖父节点，u为叔叔节点
首先要知道最主要的是看u
情况一：cur为红，p为红，g为黑，u存在且为红 :
在这里插入图片描述
为什么要看u节点，因为如果cur为红且p为红，那么g一定为黑。所以唯一的变数就为u

它的调整方法为：
在这里插入图片描述
首先p肯定要变黑，而为了使g两边的子树黑节点数目相同，u也要变黑。至于g，我们先把它变红，因为如果这颗树是子树而g还是黑，那么相当于这颗子树的黑节点多了一个，会影响到别的子树。如果g为根那么就把g变为黑。
这里要注意继续往上处理：
把g当成cur，继续向上调整。

举个例子：
在这里插入图片描述
可以看到绿色部分就为上面的抽象图，就这么往上循环改变颜色即可。

情况二：cur为红，p为红，g为黑，u不存在/u为黑
在这里插入图片描述
此时要对u分情况讨论：

1️⃣ u不存在时，那么cur一定是新增节点，因为如果cur不是新增节点，那么cur和p一定有一个节点为黑，这样就不满足黑节点数目相同的条件。

在这里插入图片描述
处理方式就为右单旋
在这里插入图片描述

2️⃣ u存在且为黑
在这里插入图片描述
总结一下：

u不存在则cur是新增节点，u存在那么就是由情况一变换过来的。
情况二的处理方法就是旋转+变色。

情况三: cur为红，p为红，g为黑，u不存在/u为黑

情况三与情况二的区别就是情况二是直线，情况三是折线，经过AVL的学习我们知道这种情况要双旋。

在这里插入图片描述
情况三也是由其他情况变过来的。
此时我们就需要进行双旋调整红黑树。
在这里插入图片描述
左单旋后变成了情况二，那么按照情况二的方法进行右旋即可。
在这里插入图片描述
以上三种情况的代码如下：

while (parent && parent->_col == RED)
{
	// 找g 与 u
	Node* g = parent->_parent;
	if (parent == g->_left)
	{
		Node* u = g->_right;
		// 情况一 u存在且为红
		if (u && u->_col == RED)
		{
			parent->_col = u->_col = BLACK;
			g->_col = RED;
			// 继续往上处理
			cur = g;
			parent = cur->_parent;
		}
		else // 情况二或情况三
		{
			if (cur == parent->_left)// 情况二
			{
				//   g
				//  p
				// c
				RotateR(g);
				parent->_col = BLACK;
				g->_col = RED;
			}
			else// 情况三
			{
				//  g
				// p
				//  c
				RotateL(parent);
				RotateR(g);
				//   c
				// p   g
				cur->_col = BLACK;
				g->_col = RED;
			}
			break;
		}
	}
	else
	{
		Node* u = g->_left;
		// 情况一
		if (u && u->_col == RED)
		{
			u->_col = parent->_col = BLACK;
			g->_col = RED;
			cur = g;
			parent = cur->_parent;
		}
		else
		{
			// 情况二
			// g
			//  p
			//   c
			if (cur == parent->_right)
			{
				RotateL(g);
				parent->_col = BLACK;
				g->_col = RED;
			}
			else// 情况三
			{
				// g
				//  p
				// c
				RotateR(parent);
				RotateL(g);
				cur->_col = BLACK;
				g->_col = RED;
			}
			break;
		}
	}
}
// 上面有可能把_root的颜色变为红
_root->_col = BLACK;
return true;
}

三、验证

想要验证是否是红黑树，首先要保证是搜索树（中序遍历有序）。
其次还要判断根节点是否为黑，是否有两个红的相连（检查红节点的父亲），每条路径上的黑节点数目相同（随便找一条路径测出标准值）。

怎么测每条路径的黑节点数目是否相同？

测一条路径的黑节点数目当作标准值，递归过程中遇到黑节点就记录，到空说明该路径走完，比对标准值，如果不同就返回false。

bool _IsBalance(Node* root, int i, int flag)
{
	if (root == nullptr)
	{
		if (i != flag)
		{
			cout << "errno: 左右子树黑色节点数目不同" << endl;
			return false;
		}
		return true;
	}
	// 红节点时判断父亲
	if (root->_col == RED)
	{
		if (root->_parent->_col == RED)
		{
			cout << "errno: 红-红" << endl;
			return false;
		}
	}
	if (root->_col == BLACK)
	{
		i++;
	}

	return _IsBalance(root->_left, i, flag) 
		&& _IsBalance(root->_right, i, flag);
}

bool IsBalance()
{
	if (_root == nullptr)
	{
		return true;
	}
	if (_root->_col != BLACK)
	{
		return false;
	}
	// 找标准值
	Node* cur = _root;
	int flag = 0;
	while (cur)
	{
		if (cur->_col == BLACK)
		{
			flag++;
		}
		cur = cur->_left;
	}
	int i = 0;
	return _IsBalance(_root, i, flag);
}

四、源码

#pragma once
#include <iostream>
#include <cstdlib>
#include <cassert>
#include <string>

using namespace std;

enum Colour
{
	RED,
	BLACK,
};

template <class K, class V>
struct RBTreeNode
{
	RBTreeNode(const pair<K, V>& kv)
		: _kv(kv)
		, _left(nullptr)
		, _right(nullptr)
		, _parent(nullptr)
		, _col(RED)
	{}

	pair<K, V> _kv;
	RBTreeNode<K, V>* _left;
	RBTreeNode<K, V>* _right;
	RBTreeNode<K, V>* _parent;
	Colour _col;
};

template <class K, class V>
class RBTree
{
	typedef RBTreeNode<K, V> Node;
public:
	bool insert(const pair<K, V>& kv)
	{
		if (_root == nullptr)
		{
			_root = new Node(kv);
			_root->_col = BLACK;
			return true;
		}

		Node* parent = nullptr;
		Node* cur = _root;
		while (cur)
		{
			if (kv.first < cur->_kv.first)
			{
				parent = cur;
				cur = cur->_left;
			}
			else if (kv.first > cur->_kv.first)
			{
				parent = cur;
				cur = cur->_right;
			}
			else return false;
		}
		cur = new Node(kv);
		if (kv.first < parent->_kv.first)
		{
			parent->_left = cur;
		}
		else
		{
			parent->_right = cur;
		}
		cur->_parent = parent;

		while (parent && parent->_col == RED)
		{
			// 找g 与 u
			Node* g = parent->_parent;
			if (parent == g->_left)
			{
				Node* u = g->_right;
				// 情况一 u存在且为红
				if (u && u->_col == RED)
				{
					parent->_col = u->_col = BLACK;
					g->_col = RED;
					// 继续往上处理
					cur = g;
					parent = cur->_parent;
				}
				else // 情况二或情况三
				{
					if (cur == parent->_left)// 情况二
					{
						//   g
						//  p
						// c
						RotateR(g);
						parent->_col = BLACK;
						g->_col = RED;
					}
					else// 情况三
					{
						//  g
						// p
						//  c
						RotateL(parent);
						RotateR(g);
						//   c
						// p   g
						cur->_col = BLACK;
						g->_col = RED;
					}
					break;
				}
			}
			else
			{
				Node* u = g->_left;
				// 情况一
				if (u && u->_col == RED)
				{
					u->_col = parent->_col = BLACK;
					g->_col = RED;
					cur = g;
					parent = cur->_parent;
				}
				else
				{
					// 情况二
					// g
					//  p
					//   c
					if (cur == parent->_right)
					{
						RotateL(g);
						parent->_col = BLACK;
						g->_col = RED;
					}
					else// 情况三
					{
						// g
						//  p
						// c
						RotateR(parent);
						RotateL(g);
						cur->_col = BLACK;
						g->_col = RED;
					}
					break;
				}
			}
		}
		// 上面有可能把_root的颜色变为红
		_root->_col = BLACK;
		return true;
	}

	void RotateL(Node* parent)
	{
		Node* top = parent->_parent;
		Node* right = parent->_right;
		parent->_right = right->_left;
		if (right->_left) right->_left->_parent = parent;
		right->_left = parent;
		parent->_parent = right;
		if (top)// 子树
		{
			if (parent == top->_left) top->_left = right;
			else top->_right = right;
			right->_parent = top;
		}
		else// 完整的树
		{
			_root = right;
			_root->_parent = nullptr;
		}
	}

	void RotateR(Node* parent)
	{
		Node* top = parent->_parent;
		Node* left = parent->_left;
		Node* leftR = left->_right;
		parent->_left = leftR;
		if (leftR) leftR->_parent = parent;
		left->_right = parent;
		parent->_parent = left;
		if (top)
		{
			if (parent == top->_left) top->_left = left;
			else top->_right = left;
			left->_parent = top;
		}
		else
		{
			_root = left;
			_root->_parent = nullptr;
		}
	}

	void _Inorder(Node* root)
	{
		if (root == nullptr)
			return;

		_Inorder(root->_left);
		cout << root->_kv.first << "<=>" << root->_kv.second << endl;
		_Inorder(root->_right);
	}

	void Inorder()
	{
		_Inorder(_root);
	}

	bool _IsBalance(Node* root, int i, int flag)
	{
		if (root == nullptr)
		{
			if (i != flag)
			{
				cout << "errno: 左右子树黑色节点数目不同" << endl;
				return false;
			}
			return true;
		}
		// 红节点时判断父亲
		if (root->_col == RED)
		{
			if (root->_parent->_col == RED)
			{
				cout << "errno: 红-红" << endl;
				return false;
			}
		}
		if (root->_col == BLACK)
		{
			i++;
		}

		return _IsBalance(root->_left, i, flag) 
			&& _IsBalance(root->_right, i, flag);
	}

	bool IsBalance()
	{
		if (_root == nullptr)
		{
			return true;
		}
		if (_root->_col != BLACK)
		{
			return false;
		}
		// 找标准值
		Node* cur = _root;
		int flag = 0;
		while (cur)
		{
			if (cur->_col == BLACK)
			{
				flag++;
			}
			cur = cur->_left;
		}
		int i = 0;
		return _IsBalance(_root, i, flag);
	}

private:
	Node* _root = nullptr;
};

void test()
{
	RBTree<int, int> bb;
	const int N = 10000;
	srand(time(0));
	for (int i = 0; i < N; i++)
	{
		size_t x = rand();
		bb.insert(make_pair(x, x));
	}
	/*int a[] = { 16, 3, 7, 11, 9, 26, 18, 14};
	for (auto e : a)
	{
		bb.insert(make_pair(e, e));
	}*/
	cout << bb.IsBalance();
}

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