一、背包问题概述
背包问题是动态规划领域的经典问题，其核心在于如何在有限容量的背包中选择物品，使得总价值最大化。根据物品选择规则的不同，主要分为两类：
- 01 背包：每件物品最多选 1 次（选或不选）。
- 完全背包：每件物品可选无限次。
本文将深入解析两者的核心逻辑、状态转移及优化技巧，并通过 Java 代码实现典型场景。
二、01 背包问题：选或不选的博弈
问题描述
给定背包容量 W 和 N 个物品（每个物品重量 w[i]、价值 v[i]），每个物品最多选 1 次，求背包能承载的最大价值。
核心思路
1. 状态定义
dp[j]：背包容量为j时能获得的最大价值。
2. 状态转移方程
dp[j] = max(dp[j], dp[j - w[i]] + v[i])
- 选第
i件物品：需确保容量j >= w[i]，价值为前i-1件物品装入容量j-w[i]的背包价值 + 当前物品价值。 - 不选第
i件物品：价值与前i-1件物品装入容量j的背包价值相同。
3. 关键实现细节
- 倒序遍历容量：从
W到w[i]倒序枚举，避免重复选择同一物品。 - 空间优化：使用一维数组代替二维数组，降低空间复杂度至
O(W)。
示例分析
场景：背包容量 W=4，物品列表 [(w=2, v=3), (w=1, v=2), (w=3, v=4)]。
二维 DP 表演变：
| 容量 \ 物品 | 0（无） | 物品 1 (2,3) | 物品 2 (1,2) | 物品 3 (3,4) |
|---|---|---|---|---|
| 0 | 0 | 0 | 0 | 0 |
| 1 | 0 | 0 | 2 | 2 |
| 2 | 0 | 3 | 3 | 3 |
| 3 | 0 | 3 | 5 | 5 |
| 4 | 0 | 3 | 5 | 5 |
一维优化 Java 代码：
public class Knapsack01 {
public static int solve(int[] w, int[] v, int W) {
int N = w.length;
int[] dp = new int[W + 1]; // dp[j]表示容量j的最大价值
for (int i = 0; i < N; i++) { // 遍历每个物品
for (int j = W; j >= w[i]; j--) { // 倒序遍历容量，避免重复选
dp[j] = Math.max(dp[j], dp[j - w[i]] + v[i]);
}
}
return dp[W];
}
public static void main(String[] args) {
int[] w = {2, 1, 3};
int[] v = {3, 2, 4};
int W = 4;
System.out.println("01背包最大价值：" + solve(w, v, W)); // 输出：5
}
}
三、完全背包问题：无限选择的智慧
问题描述
与 01 背包不同，完全背包允许每件物品选无限次，求背包能承载的最大价值。
核心思路
1. 状态定义
同 01 背包，dp[j] 表示容量为 j 时的最大价值。
2. 状态转移方程
dp[j] = max(dp[j], dp[j - w[i]] + v[i])
- 允许重复选择：由于每件物品可选多次，需正序遍历容量（从
w[i]到W），确保当前物品可被多次选取。
3. 关键实现细节
- 正序遍历容量：从
w[i]到W正序枚举，允许同一件物品被多次计算。
示例分析
场景：背包容量 W=4，物品列表同 01 背包示例（允许无限选）。
二维 DP 表演变：
| 容量 \ 物品 | 0（无） | 物品 1 (2,3) | 物品 2 (1,2) | 物品 3 (3,4) |
|---|---|---|---|---|
| 0 | 0 | 0 | 0 | 0 |
| 1 | 0 | 0 | 2 | 2 |
| 2 | 0 | 3 | 4 | 4 |
| 3 | 0 | 3 | 6 | 6 |
| 4 | 0 | 6 | 8 | 8 |
一维优化 Java 代码：
public class KnapsackComplete {
public static int solve(int[] w, int[] v, int W) {
int N = w.length;
int[] dp = new int[W + 1];
for (int i = 0; i < N; i++) { // 遍历每个物品
for (int j = w[i]; j <= W; j++) { // 正序遍历容量，允许重复选
dp[j] = Math.max(dp[j], dp[j - w[i]] + v[i]);
}
}
return dp[W];
}
public static void main(String[] args) {
int[] w = {2, 1, 3};
int[] v = {3, 2, 4};
int W = 4;
System.out.println("完全背包最大价值：" + solve(w, v, W)); // 输出：8（选4件物品2）
}
}
四、核心对比：01 背包 vs 完全背包
| 特性 | 01 背包 | 完全背包 |
|---|---|---|
| 物品选择 | 每个物品最多选 1 次 | 每个物品可选无限次 |
| 容量遍历顺序 | 倒序（从 W 到 w [i]） | 正序（从 w [i] 到 W） |
| 状态更新逻辑 | 基于 “旧状态” 避免重复 | 基于 “新状态” 允许重复 |
| 时间复杂度 | O(N×W) | O(N×W) |
| 典型场景 | 物品限购、资源分配 | 货币兑换、原料无限供应 |
五、实战应用：LeetCode 经典题目
1. 01 背包应用：分割等和子集（LeetCode 416）
问题描述：判断数组是否可分割成两个和相等的子集。
思路：转化为 01 背包问题，目标容量为 total/2，判断是否能恰好装满。
public class CanPartition {
public static boolean canPartition(int[] nums) {
int total = sum(nums);
if (total % 2 != 0) return false;
int target = total / 2;
boolean[] dp = new boolean[target + 1];
dp[0] = true; // 容量0时有一种方案（不选任何物品）
for (int num : nums) {
for (int j = target; j >= num; j--) { // 倒序遍历防重复
dp[j] = dp[j] || dp[j - num];
}
}
return dp[target];
}
private static int sum(int[] nums) {
return Arrays.stream(nums).sum();
}
public static void main(String[] args) {
int[] nums = {1, 5, 11, 5};
System.out.println(canPartition(nums)); // 输出：true（子集和为11）
}
}
2. 完全背包应用：零钱兑换（LeetCode 322）
问题描述：用最少硬币数组成金额 amount，硬币可重复使用。
思路：转化为完全背包问题，目标是最小化物品数量（硬币数）。
public class CoinChange {
public static int coinChange(int[] coins, int amount) {
int[] dp = new int[amount + 1];
Arrays.fill(dp, Integer.MAX_VALUE);
dp[0] = 0; // 金额0时需0枚硬币
for (int coin : coins) {
for (int j = coin; j <= amount; j++) { // 正序遍历允许多选
if (dp[j - coin] != Integer.MAX_VALUE) {
dp[j] = Math.min(dp[j], dp[j - coin] + 1);
}
}
}
return dp[amount] == Integer.MAX_VALUE ? -1 : dp[amount];
}
public static void main(String[] args) {
int[] coins = {1, 2, 5};
int amount = 11;
System.out.println(coinChange(coins, amount)); // 输出：3（5+5+1）
}
}
六、优化技巧与变种问题
1. 空间优化
- 一维数组代替二维数组，空间复杂度从
O(N×W)降至O(W)。
2. 多重背包转化
若物品有数量限制（如最多选 k 件），可通过二进制拆分转化为 01 背包问题。例如，最多选 3 件可拆分为 1 件、2 件两个物品。
3. 常见变种
- 恰好装满背包的方案数：初始化
dp[0] = 1，其余为 0，通过加法原理计算方案数。 - 二维费用背包：增加一维状态（如重量和体积），状态转移为
dp[j][k] = max(...)。
七、总结与学习建议
核心口诀
- 01 背包：倒序遍历防重复，选或不选取最值。
- 完全背包：正序遍历允重复，同物多次算价值。
练习推荐
- 01 背包：LeetCode 494. 目标和
- 完全背包：LeetCode 518. 零钱兑换 II（求方案数，需正序遍历 + 组合逻辑）
通过对比学习 01 背包与完全背包的核心逻辑，掌握动态规划的状态转移思想，可有效应对背包问题的各类变种。建议结合具体题目反复练习，加深对 “状态定义” 和 “遍历顺序” 的理解。
