文章1、2、3中讨论的是离散系统的振动特性，然而实际系统的惯性质量、弹性、阻尼等特性都是连续分布的，因而成为连续系统或分布参数系统。确定连续介质中无数个点的运动需要无限个广义坐标，因此也称为无限自由度系统，典型的结构例如：弦、杆、膜、环、梁、板、壳等，也称为弹性体。弹性体的微振动通常由偏微分方程描述。本文研究弹性杆的纵向振动特性。

1. 弹性杆纵向振动方程

1.1 振动方程

某一直杆长为$l$，沿杆件的轴线为$x$轴，记在坐标$x$处的横截面面积为$A(x)$，弹性模量$E(x)$，质量密度$\rho (x)$。时刻$t$在坐标$x$处的纵向位移为$u(x,t)$，轴向外力为$f(x,t)$。略去推导过程，直接给出直杆纵向受迫振动的微分方程：
$$\rho A\frac{{\partial }^{2}u(x,t)}{\partial t^2}=\frac{\partial }{\partial x}\left(EA\frac{\partial u(x,t)}{\partial x}\right)+f$$

对于均质杆，可写为：
$$\frac{{\partial }^{2}u(x,t)}{\partial t^2}=c^2\frac{{\partial }^{2}u(x,t)}{\partial x^2}+\frac{1}{\rho A}f(1.4)$$

式中，$c=\sqrt{E/\rho }$为杆内的弹性波沿杆纵向的传播速度。

1.2 固有振动和自由振动

自由振动情况下$f=0$，可用分离变量法求解式(1.4)，将时间和空间变量分离求解，物理意义上表示先求固有振动，再由初始条件求自由振动。

注：
【固有振动】：是自由振动的一种理想形式，在无阻尼的情况下，由系统自身特性决定的振动。其频率称为固有频率（自然频率），振动模式称为固有模态（自然模态），对应特征值问题（Eigenvalue Problem），求的是系统本身的振动特性，与初始值无关。例如一根两端固定的梁，其前几阶固有频率和振型（如第一阶弯曲模态）是固定属性，即使梁未被激发也会存在这些模态。
【自由振动】：指系统在没有外力作用下，仅由初始条件（初始位移、初始速度）引起的振动，例如敲击该梁后，它会以固有频率振动，但因阻尼存在振幅逐渐衰减（自由振动响应）。自由振动包含固有振动：自由振动中，系统的响应是多个固有模态的叠加，即自由振动的频率和振型来源于系统的固有振动。
【模态分析】：Modal analysis，通过求解固有振动问题来获得系统的自然频率与振型，进而用来分析或构造自由振动响应。

假设一个主振动模态（Principal mode of vibration），即系统在做某一种形式的自由振动时，系统中所有质点都作简谐运动，同时达到最大值，且同时经过各自平衡点。

注：主振动模态是系统的一种固有振动形式，此时所有质点以固有频率作简谐振动；各质点的振幅分布比例固定，形成特定的空间形状（即振型，mode shape）；相位同步（同时达到最大值，同时经过平衡点）。实际自由振动是各阶主模态的线性叠加。自由振动可由多个主模态叠加而成，但单模态振动是理论上最简单且可观测的基本形式。主振动模态是系统的内在特性，与外载荷无关。

固有振型函数记为$U(x)$，杆自由振动具有如下形式：
$$u(x,t)=U(x)\sin (\omega t+\theta )(1.6)$$

将式(1.6)代入式(1.4)，经过数学运算，得到固有振型函数：
U ( x ) = a 1 cos ⁡ ω c x + a 2 sin ⁡ ω c x ( 1.9 ) U(x) = a_1 \cos \frac{\omega}{c}x + a_2 \sin \frac{\omega}{c}x \qquad (1.9) U(x)<