图形排版

题目描述

小明需要在一篇文档中加入 NN 张图片，其中第 ii 张图片的宽度是 WiWi​，高度是 HiHi​。

假设纸张的宽度是 MM，小明使用的文档编辑工具会用以下方式对图片进行自动排版：

1. 该工具会按照图片顺序，在宽度 MM 以内，将尽可能多的图片排在一行。该行的高度是行内最高的图片的高度。例如在 M=10M=10 的纸张上依次打印 3x4, 2x2, 3x3 三张图片，则效果如下图所示，这一行高度为 4。(分割线以上为列标尺，分割线以下为排版区域；数字组成的矩形为第 xx 张图片占用的版面)

0123456789

----------

111

111 333

11122333

11122333

2.如果当前行剩余宽度大于 0，并且小于下一张图片，则下一张图片会按比例缩放到宽度为当前行剩余宽度(高度向上取整)，然后放入当前行。例如再放入一张 4x9 的图片，由于剩余宽度是 2，这张图片会被压缩到 2x5，再被放入第一行的末尾。此时该行高度为 5：

0123456789

---------

44

111 44

111 33344

1112233344

1112233344

3.如果当前行剩余宽度为 0，该工具会从下一行开始继续对剩余的图片进行排版，直到所有图片都处理完毕。此时所有行的总高度和就是这 NN 张图片的排版高度。例如再放入 11x1, 5x5, 3x4 的图片后，效果如下图所示，总高度为 11：

0123456789

----------

44

111 44

111 33344

1112233344

1112233344

5555555555

66666

66666777

66666777

66666777

66666777

现在由于排版高度过高，图片的先后顺序也不能改变，小明只好从 NN 张图片中选择一张删除掉以降低总高度。他希望剩余 N−1N−1 张图片按原顺序的排版高度最低，你能求出最低高度是多少么？

输入描述

输入描述

第一行包含两个整数 M,NM,N，分别表示纸张宽度和图片的数量。

接下来 NN 行，每行 2 个整数 Wi,HiWi​,Hi​，表示第 ii 个图大小为 Wi×HiWi​×Hi​。

其中,1≤N≤1051≤N≤105，1≤M,Wi,Hi≤1001≤M,Wi​,Hi​≤100。

输出描述

一个整数，表示在删除掉某一张图片之后，排版高度最少能是多少。

输入输出样例

示例

输入

4 3
2 2
2 3
2 2

输出

2

运行限制

• 最大运行时间：2s
• 最大运行内存: 256M

总通过次数: 1602  |  总提交次数: 2957  |  通过率: 54.2%

难度: 困难   标签: 2017, 模拟, 省赛, 搜索

算法思路

本问题需要高效处理图片排版和删除优化，核心挑战在于：

1. ​​排版规则复杂​​：涉及原始图片放置、缩放处理、行高计算
2. ​​数据规模大​​：N ≤ 10⁵，需O(N)或O(N log N)解法
3. ​​删除优化​​：需快速计算删除每张图片后的排版高度

采用​​双向预处理+模拟重新排版​​策略：

1. ​​正向预处理​​：计算不删除时的行信息（起始位置、行高、下一行起点）
2. ​​后缀数组预处理​​：g[i]表示从第i张图开始排版的总高度
3. ​​枚举删除​​：对每个图片，重新排版所在行并拼接前后部分高度

 算法演示

算法步骤

1. ​​正向排版预处理​​

   • 模拟整个序列排版，记录：
     • lines[]：每行起始下标
     • row_id[]：每张图片所在行号
     • nxt_line[]：每行结束后的下一行起点
     • line_height[]：每行高度
     • pre_total[]：前行累计高度

2. ​​后缀数组g[i]计算​​

   • 从后向前动态规划：
     • g[N+1] = 0
     • 对每个i从N到1：
       • 模拟从i开始排版一行
       • 计算行高和结束位置j
       • g[i] = 行高 + g[j]

3. ​​枚举删除并计算​​

   • 对每张图片k：
     • 定位所在行x和起始位置L0
     • ​​重新排版该行（跳过k）​​：
       • 遍历行内图片（跳过k）
       • 根据剩余空间缩放图片
       • 计算新行高和结束位置next_start
     • 总高度 = 前行高度 + 新行高 + g[next_start]
   • 取所有删除方案的最小高度

代码实现（C++）

#include <iostream>
#include <algorithm>
#include <cmath>
using namespace std;

const int MAXN = 100010;
int M, N;
int W[MAXN], H[MAXN];
int lines[MAXN], row_id[MAXN], nxt_line[MAXN], line_height[MAXN];
long long pre_total[MAXN], g[MAXN];

// 缩放高度计算（向上取整）
inline int calc_scaled_height(int w, int h, int space) {
    return (h * space + w - 1) / w;  // 整数运算避免浮点误差
}

int main() {
    ios::sync_with_stdio(false);
    cin.tie(0);
    
    // 输入数据
    cin >> M >> N;
    for (int i = 1; i <= N; i++) {
        cin >> W[i] >> H[i];
    }

    // 正向排版预处理
    int row_count = 0;
    for (int i = 1; i <= N; ) {
        lines[++row_count] = i;  // 记录行起始
        int current_width = 0;
        int max_h = 0;
        int j = i;
        
        // 排版当前行
        while (j <= N) {
            if (current_width + W[j] <= M) {
                current_width += W[j];
                max_h = max(max_h, H[j]);
                row_id[j] = row_count;  // 记录图片所在行
                j++;
            } else {
                if (current_width < M) {
                    int space = M - current_width;
                    int scaled_h = calc_scaled_height(W[j], H[j], space);
                    max_h = max(max_h, scaled_h);
                    row_id[j] = row_count;
                    j++;  // 缩放后放入，指向下一张
                    current_width = M;  // 行满
                }
                break;
            }
        }
        line_height[row_count] = max_h;
        nxt_line[row_count] = j;  // 下一行起始
        i = j;  // 处理下一行
    }

    // 计算前行累计高度
    for (int i = 1; i <= row_count; i++) {
        pre_total[i] = pre_total[i - 1] + line_height[i];
    }

    // 后缀数组g[i]计算
    g[N + 1] = 0;
    for (int i = N; i >= 1; i--) {
        int current_width = 0;
        int max_h = 0;
        int j = i;
        
        // 从i开始排版一行
        while (j <= N) {
            if (current_width + W[j] <= M) {
                current_width += W[j];
                max_h = max(max_h, H[j]);
                j++;
            } else {
                if (current_width < M) {
                    int space = M - current_width;
                    int scaled_h = calc_scaled_height(W[j], H[j], space);
                    max_h = max(max_h, scaled_h);
                    j++;  // 缩放后放入
                }
                break;
            }
        }
        g[i] = max_h + g[j];  // 当前行高 + 后续高度
    }

    // 枚举删除每张图片
    long long ans = 1e18;
    for (int k = 1; k <= N; k++) {
        int x = row_id[k];       // k所在行号
        int L0 = lines[x];       // 行起始位置
        long long prefix = pre_total[x - 1];  // 前行总高度
        
        // 重新排版当前行（跳过k）
        int current_width = 0;
        int max_h = 0;
        int j = L0;
        while (j <= N) {
            if (j == k) {  // 跳过被删除图片
                j++;
                continue;
            }
            if (current_width + W[j] <= M) {
                current_width += W[j];
                max_h = max(max_h, H[j]);
                j++;
            } else {
                if (current_width < M) {
                    int space = M - current_width;
                    int scaled_h = calc_scaled_height(W[j], H[j], space);
                    max_h = max(max_h, scaled_h);
                    j++;  // 缩放后放入
                }
                break;
            }
        }
        // 总高度 = 前行高度 + 新行高 + 后续高度
        long long total_height = prefix + max_h + g[j];
        ans = min(ans, total_height);
    }
    
    cout << ans << endl;
    return 0;
}

代码解析

1. ​​数据结构​​

   • W[i], H[i]：存储图片宽高
   • lines[]：记录每行起始图片下标
   • row_id[i]：图片i所在行号
   • g[i]：从第i张图开始排版的总高度

2. ​​关键函数​​

   • calc_scaled_height()：计算缩放高度（整数运算避免浮点误差）
   • 正向排版：模拟自动排版过程，记录行信息
   • 后缀计算：动态规划生成g[]数组，加速后续查询

3. ​​删除优化​​

   • 枚举删除每张图片时，仅重新排版其所在行
   • 利用预处理的g[]数组快速获取后续排版高度
   • 时间复杂度：O(100N)（每行最多处理100张图）

实例验证

输入样例：

4 3
2 2
2 3
2 2

处理过程：

1. ​​原始排版​​：

   • 行1：图片1(2×2) + 图片2(2×3) → 行高=3
   • 行2：图片3(2×2) → 行高=2
   • 总高度=5

2. ​​删除图片2​​：

   • 行1：图片1(2×2) + 图片3(2×2) → 行高=2
   • 总高度=2

3. ​​算法计算​​：

   • pre_total[0]=0（无前行）
   • 重新排版行1得max_h=2
   • g[4]=0（无后续图）
   • 总高度=0+2+0=2

注意事项

1. ​​缩放计算​​：

   • 使用整数运算：(h * space + w - 1) / w
   • 避免浮点误差和性能开销

2. ​​边界处理​​：

   • 行内无图片时，行高为0
   • 最后一行结束时j=N+1

3. ​​性能优化​​：

   • 每行最多处理100张图（因M≤100）
   • 后缀数组g[]避免重复排版

4. ​​内存优化​​：

   • 数组大小设为100010（10⁵+10）
   • 使用long long防溢出