数学分析——一致性(均匀性)和收敛

1. 连续函数

1.1 连续函数的定义

1.2 连续函数的性质

1.2.1 性质一

1.2.2 性质二

1.2.3 性质三

1.2.4 性质四

2. 一致连续函数

2.1 一致连续函数的定义

2.2 一致连续性定理(小间距定理)(一致连续函数的另一种定义)

2.3 一致连续性判定法

2.4 连续函数与一致连续函数的区别

3. 函数的序列和级数(无穷和)的一致收敛性

3.1 逐点收敛的定义

3.2 一致收敛的定义

3.3 一致收敛的Cauchy充要条件

3.4 一致收敛函数序列的性质

3.4.1 有界性

3.4.2 连续性

3.4.3 可微性

4. 级数(无限项之和)

1. 连续函数

1.1 连续函数的定义

通俗地讲，连续函数就是在附近点取得附近值的函数。

定义 1.1 令 f ：A ⟶ ℝ 为一个映射，其中 A ⊂ ℝ ，并假设 c∈A 。若对于每一个 ε > 0 ，都存在一个 δ > 0 ，使得只要

| x - c | < δ ，就有 | f (x) - f (c) | < ε ,

则称函数 f 在 c 处是连续的。若 f 此函数在 A 的每一点都连续，则称此函数在 f 上是连续的。若函数在 B 的每一个点处连续，则函数在 B ⊂ A 上连续。

某一点的连续性定义可以用邻域来表述如下。

定义 1.2 令 f ：A ⟶ ℝ 为一个映射，其中 A ⊂ ℝ ，并假设 c∈A 。若对于 f (c) 的每一个邻域 V ，都存 c 的一个领域 U ，使得只要

x∈ A∩U ，就有 f (x)∈ V ,

则称函数 f 在 c 处是连续的。

两种定义是等价的。ε-δ 定义法对应V 是 f (c) 的一个 ε 领域而 U 是 c 的一个 δ 领域的情况。

注意，为了定义 f 在 c 点处的连续性，点 c 必须属于 f 的定义域 A 。若点 c 是 A 的一个孤点(注：在定义域中只有一个点)，则连续的条件自动成立，因为对于足够小的 δ > 0 ，满足 | x - c | < δ 的唯一点就是 x = c ，则 0 = | f (x) - f (c)| < ε 。因此函数在其定义域的每一个孤点都连续，因此孤点不太有趣。

若 c∈A 是 A 的一个聚点(accumulation point)，则 f 在 c 点处的连续性等价于条件

$\displaystyle \lim_{x \rightarrow c}{f(x)}=f(c)$

其指的是，f 随着 x ⟶ c 的极限存在，并且恰好等于f 在 c 点处的函数值。

1.2 连续函数的性质

1.2.1 性质一

若 f ,g ：A ⟶ ℝ 在 c∈A 处是连续的且 k∈ℝ ，则 kf ，f + g 和 fg 在 c 处是连续。此外，若 g(c) ≠ 0 ，则 f /g 在 c 处是连续的。

1.2.2 性质二

每一个多项式函数在 ℝ 上都是连续的， 每一个比率函数在其定义域内都是连续的。

1.2.3 性质三

令 f ：A ⟶ ℝ 和 g ：B ⟶ ℝ 为两个映射，且 f (A) ⊂ B 。若 f 在 c∈A 处连续而 g 在 f (c)∈B 处连续，则 g ○ f ：A ⟶ ℝ 在 c∈A 处连续。(○ 表示复合函数。)

1.2.4 性质四

令 f ：A ⟶ ℝ 和 g ：B ⟶ ℝ 为两个映射，且 f (A) ⊂ B 。若 f 在 A 上连续而 g 在 f (A) 上连续，则 g ○ f 在A 上连续。(○ 表示复合函数。)

2. 一致连续函数

一致连续性是一种微妙但有力的连续性增强。

2.1 一致连续函数的定义

定义 2.1 令 f ：A ⟶ ℝ 为一个映射，其中 A ⊂ ℝ ，并假设 c∈A 。若对于每一个 ε > 0 ，都存在一个 δ > 0 ，使得只要

| x - y | < δ 且 x ，y∈A ，就有 | f (x) - f (y) | < ε ,

则称函数 f 在 A 上是一致连续的。

也就是说，这样的 δ 对于任意的 ε 都适用，不管你ε 多小，我这个 δ 都适用。

这个定义的关键点在于，δ 仅取决于 ε ，而与 x 和y无关，也就是说 x 和y 是任意两点 。一个在A的每一点一致连续的函数必定在 A的每一点连续，但反之不成立。

例子1：函数 $f(x)=\frac{1}{x}$ 在 (0,+ ∞) 上是连续的，如下图所示：

但其在此区间上不是一致连续的。从图上直观地可以看出，找不到一个对于已知 ε 和任意两点都成立的 δ 。 事实上，在图中我们试图表明，给定一个特定的 ε，我们被迫使 δ 越来越小才能赢得这个 ε的比赛，因为我们会使用更接近 0 的 y ，而且似乎这个过程不会停止，没有 δ会普遍起作用。对于同样一个 ε ，可以找到某个 δ 在某个位置满足 | x - y | < δ ，但当往 0 移动的时候，这个函数差值就会大于 ε ，因此这个 δ 不能对所有 ε 都成立。

但若我们将此函数的定义域限定为 [1 ,+ ∞) ，则此函数是一致连续的。如下图所示

我们可以在“末端”取得这个 δ ，使其对于所有的 ε 都成立。也就是说，如果任意给一个 ε ，如果我这个 δ 取在末端，不管你这个 | x - y | 位置怎么摆动，都能满足一致收敛条件。这个是理解的难点。

2.2 一致连续性定理(小间距定理)(一致连续函数的另一种定义)

令 f 为一个实函数且在闭区间 [a,b] 上连续，并令 M( f ) 和 m( f ) 分别表示 f 在 [a,b] 上的最大值和最小值。我们称其差值

M( f ) - m( f )

为 f 在区间 [a,b] 上的间距或跨度(span)。一些作者使用术语摆距(oscillation)来代替间距，摆距的缺点是会让人联想到波动或波状的函数。较早的文献使用 saltus (急变)这个词，其是leap对应的拉丁词。“间距”这个词似乎更能说明这里所度量的内容。我们注意到，[a,b] 的任意子区间中的 f 的间距都不会超越 f 在 [a,b] 中的间距。

可以证明，可以分割 [a,b] 使得f 在每一个子区间中的间距都任意小。更确切地说，我们有以下连续函数的小间距定理。在文献中通常称其为关于一致连续的小间距定理。

(关于一致连续的)小间距定理：令 f 为闭区间 [a,b] 上的一个连续函数。则对于每一个 ε > 0 ,存在 [a,b] 的一个有限数量的子区间分割，使得 f 在每一个子区间中的间隔小于 ε 。

2.3 一致连续性判定法

定理令 [a,b] 为一个实数闭区间，f : [a,b]⟶ ℝ 为一个连续函数。则 f 在 [a,b] 上是一个一致连续函数。

说明：即闭区间上的连续函数必定一致连续，因为其可以在“端点处”取得适用于全局的 δ ，即这种要求 δ 越来越小才能满足 ε 的趋抛是有尽头的，如果这个区间无界，则对于有些函数而言，比如 1/x ，这种趋势就没有终点，无穷无尽。

2.4 连续函数与一致连续函数的区别

当我们讨论一个函数 f 在某点连续的时候，我们关注的仅仅是函数在此点附近的值的行为。一致连续是一个比连续更强的性质，是做某些扩展的时候基本的要求。就比如函数 $f(x)=\frac{1}{x^{2}-2}$ ，当定义有比率数(有理数)上的时候，它是成立的，但如果扩展到实数上，它则是不成立的。

但当我们考虑函数 f 在其定义域上一致连续的时候，我们需要知道f在整个定义域上的值。因此连续性是一个局部性的概念，而一致连续是一个全局概念。所以针对一个点讨论一致连续是没有意义的。

一致连续定义在一个集合上；不同于连续性，其没有局部对应特性。一致连续确保了当在定义域上滑动的时候，定义在无界区间或复杂集合上的函数不会剧烈地无限振荡，而定义在闭区间上的连续函数由于可以取得端点，函数是有界的，其振荡有限。一致连续性在数学的各个领域都至关重要，包括分析、拓扑和度量空间。它用于涉及收敛、积分和微分的证明，一致连续函数可扩展性的一个典型应用是逆Fourier变换公式的证明。

3. 函数的序列和级数(无穷和)的一致收敛性

函数序列的收敛性有许多不同的定义方式，不同的定义会导致不等价的收敛类型。我们在此考虑两种基本类型：逐点收敛和一致收敛。

3.1 逐点收敛的定义

逐点收敛用函数值在其定义域内每一点的收敛来定义函数的收敛，关注的是局部特性。

(逐点收敛)定义设 $(f_{n})$ 是一个定义为 $f_{n}:A \rightarrow \mathbb{R}$ 的函数序列，并设 f ：A ⟶ ℝ 为另一个映射。则若对于每一个 x∈A ，随着 $n \rightarrow \infty$ 有 $f_{n} (x)\rightarrow f (x)$ ，则称按逐点收敛有 $f_{n} \rightarrow f(x)$ 。

若 $f_{n}$ 逐点收敛于 f ，则我们称函数序列 $(f_{n})$ 逐点收敛，在这种情况下有

$\displaystyle f (x) = \lim_{n \rightarrow \infty}{f_{n}(x)}$ 。

逐点收敛或许是定义函数收敛最直观的方法，也是最重要的方法之一。然而，正如以下示例所示，它的表现并不像人们最初预期的那样良好。

(1) 例1 假设 $f_{n} :(0,1) \rightarrow \mathbb{R}$ 定义为

$\displaystyle f_{n} (x) =\frac{n}{nx+1}$ ，

由于 x ≠ 0 ， $\displaystyle \lim_{n \rightarrow \infty}f_{n}(x) = \lim_{n \rightarrow \infty} \frac{1}{x+1/n} = \frac{1}{x}$ ，因此， $f_{n} \rightarrow f$ 是一致的，其中 f ：(0,1) ⟶ ℝ 定义为

$\displaystyle f (x) = \frac{1}{x}$ 。

如图：

(注：因此通过研究序列特性，就能预知其收敛到的函数的一些特性(如果收敛)。而研究序列更为容易。)

对于所有的 x∈(0,1)，我们有 $|f_{n} (x)| < n$ , 因此，每一个 $f_{n}$ 在 (0,1) 都是有界的，但这个逐点收敛的极限 f 不是有界的。因此，通常(仅)逐点收敛的函数序列不是保界的。

(2) 例2 假设映射 $f_{n} :(0,1) \rightarrow \mathbb{R}$ 定义为 $f_{n} = x^{n }$ 。若 0 ≤ x < 1 ，则随着 $n \rightarrow \infty$ 而有 $x^{n} \rightarrow 0$ ，而若 x = 1 ，则 $n \rightarrow \infty$ 而有 $x^{n} \rightarrow 1$ 。因此按逐点收敛有 $f^{n} \rightarrow f$ ，其中

$f(x)=\left \{ \begin{array}{lrc} 0\quad (\text{if}\; 0 \leq x <1),\\\\ 1\quad (\text{if}\; x=1) .\end{array} \right .$

如图：

尽管函数序列 $f_{n}$ 在 [0,1] 上是连续的，但其逐点(收敛的)极限 f 却不是连续的 (其在x = 1 处不连续)。

(3) 例3 映射 $f_{n}:[0,1] \rightarrow \mathbb{R}$ 定义为

$f(x)=\left \{ \begin{array}{lrc} 2n^{2}x\quad (\text{if}\; 0 \leq x \leq \frac{1}{2n}),\\\\ 2n^{2}(\frac{1}{n}-x) \quad (\text{if}\; \frac{1}{2n}<x<\frac{1}{n}) , \\\\ 0\quad (\text{if}\; \frac{1}{n} \leq x \leq 1) . \end{array} \right .$

若 0 < x ≤ 1 ，则对于所有 n ≥ 1/x 则 $f_{n} (x) = 0$ ，因此随着 $n \rightarrow \infty$ 而有 $f_{n} (x) \rightarrow 0$ ；而若 x = 0 ，则对于所有 n ， $f_{n} (x) = 0$ ，因此也有 $f_{n} (x) \rightarrow 0$ 。可以推导出在 [0,1] 上 $f_{n} (x) \rightarrow 0$ 是逐点的。即使随着 $n \rightarrow \infty$ 而 $f_{n} (x)=n \rightarrow \infty$ 也是如此。因此，逐点收敛函数序列 $(f_{n})$ 不要求一致有界(即，其界与 n 无关)，即使它收敛于0。

(4) 例4 映射 $f_{n} :\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ 定义为

$\displaystyle f_{n} (x) = \frac{\sin{(nx)}}{n}$ 。

在 ℝ 上 $f_{n} \rightarrow 0$ 是逐点的。导数 $f^{'}_{n}(x)=\cos{(nx)}$ 的导数序列 $( f_{n}^{'} )$ 在 ℝ 上并不一致收敛，例如

$f^{'}_{n}{(\pi)}=(-1)^{n}$

并不随着 $n \rightarrow \infty$ 而收敛。因此，一般来说，逐点收敛序列无法微分。这种现象并不局限于逐点收敛序列，而是因为一个快速振荡的小函数的导数可能很大。

3.2 一致收敛的定义

一致收敛是一个比逐点收敛更强的函数收敛概念。逐点收敛与一致收敛的区别类似于连续性与一致连续性的区别。

(一致收敛性)定义设 $(f_{n})$ 是一个定义为 $f_{n}:A \rightarrow \mathbb{R}$ 的函数序列，并设 $f:A \rightarrow \mathbb{R}$ 为另一个映射。则若对于每一个 ε > 0，都存在一个 N∈ℕ ，使得对于任意的 x∈A ，只要 n > N ，就有

$|f_{n}-f|<\epsilon$ ,

则称函数序列 $f_{n}$ 在 A 上随着 $n \rightarrow \infty$ 是一致收敛于 f 的。通常，我们忽略其域 A ，称 $f_{n} \rightarrow f$ 是一致的。

此定义的关键在于，N 仅取决于ε ，而不取决于 x ∈ A；而对于逐点收敛的序列，N 可能同时取决于ε和 x 。一致收敛的序列始终逐点收敛(至同一极限)，但反之则不然。如果序列逐点收敛，则可能发生以下情况：对于某些ε > 0，可能需要为 x ∈ A 的不同点选择任意大的 N，这意味着值序列会以任意缓慢的速度收敛于 A 。在这种情况下，逐点收敛的函数序列并非一致收敛。

下面用两例对比逐点收敛和一致收敛。

一个连续函数序列的极限函数未必是连续函数(因为它不满足一致收敛的条件)：

例如，对于函数序列 $f_{n} (x) = \sin^{n}(x)$ ，图中绿曲线和蓝色曲线所示，其在整个域上逐点收敛，但其极限函数是不连续的(图中红色所示)，因为此函数序列的振荡幅度很大。因此，为了得到极限是一个连续的函数，我们就必须施加一致连续的要求。

而一致收敛函数序列示意图如下：

3.3 一致收敛的Cauchy充要条件

(一致收敛的Cauchy充要条件)定义设 $(f_{n})$ 是一个定义为 $f_{n}:A \rightarrow \mathbb{R}$ 的函数序列。则若对于每一个 ε > 0，都存在一个 N∈ℕ ，使得对于任意的 x∈A ，只要 m , n > N (m , n 均为正整数)，就有

$|f_{m} - f_{n} | < \epsilon$ ，

则称函数序列 $f_{n}$ 是一致 Cauchy 函数序列。

定理(Cauchy一致收敛判别法) 设 $(f_{n})$ 是一个定义为 $f_{n}:A \rightarrow \mathbb{R}$ 的函数序列。则当且仅当其 是 A 上的一个 一致收敛的 Cauchy 函数序列时其一致收敛。

3.4 一致收敛函数序列的性质

3.4.1 有界性

定理假设 $f_{n}:A \rightarrow \mathbb{R}$ 对于 A 上的每一个 n∈ℕ 都是有界的，并且在 A 上 $f_{n} \rightarrow f$

是一致的。则 f ：A ⟶ ℝ 在A 上是有界的。

具体而言，如果有界函数序列逐点收敛(而非一致收敛)于无界函数，则收敛不是一致收敛的。

3.4.2 连续性

一致收敛的一个最重要的属性之一是其保连续性。

定理若一个连续函数族 $f_{n}:A \rightarrow \mathbb{R}$ 的序列 $(f_{n})$ 在 A ⊂ ℝ 上一致收敛于函数 $f :A \rightarrow \mathbb{R}$ ，则 f 在 A 上连续。如果一个连续函数序列逐点收敛于一个不连续函数，则该收敛不是一致(均匀)的。然而，反之则不成立，即使连续函数序列的收敛不是一致的，其逐点极限也可能是连续的，

3.4.3 可微性

可微函数的一致收敛通常并不意味着其导数的收敛或极限的可微性。可能因为两个函数的值可能很接近，而它们的导数的值却相距甚远。因此，如果我们希望证明 $f_{n} \rightarrow f$ 意味着 $f_{n}^{'} \rightarrow f$ ，就必须对一系列函数及其导数施加强条件。

定理假设 $(f_{n})$ 是一个可微函数族 $f_{n} :(a,b) \rightarrow \mathbb{R}$ 的序列，且 $f_{n} \rightarrow f$ 是逐点的，而 $f_{n}^{'} \rightarrow g$ 对于某个 $f , g : (a,b) \rightarrow \mathbb{R}$ 是一致的。则 f 在 (a,b) 上可微且 $f^{'}=g$ 。