振动问题的分类依赖于分类的出发点，本文从系统论的角度来分析振动问题的分类。如图1，一个振动系统，包括三个方面：输入、系统特性（或称为系统模型）、输出。其中，输入指外界载荷，包括力和力矩等荷载；输出指响应，例如位移、速度、加速度、内力、应力、应变等。

图1 振动力学系统示意图

1. 已知输入和系统特性，求输出（正问题 / Forward Problem）

在该问题中，系统的力学模型（质量、阻尼、刚度）和激励（输入）已知，目标是求解系统的响应（输出），如位移、速度或加速度（丁文镜，1988；张阿舟，1989；刘延柱，1988；胡海岩，2005）。数学形式（常见二阶线性系统）：
$$M\ddot{x}(t)+C\dot{x}(t)+Kx(t)=F(t)$$

式中，$M,C,K$：分别为质量、阻尼和刚度矩阵（系统特性）；$F(t)$：已知激励（输入）；$x(t)$：要求解的系统响应（输出）。

常用的求解方法包括：计算一般结构振动问题的有限元法、计算复杂结构的子结构方法、计算轴系振动的传递矩阵法等。还有一些方法，时域方法：Newmark、Wilson-θ、Runge-Kutta 等数值积分法；频域方法：FFT、频率响应函数（FRF）分析；模态叠加法等。

典型的应用场景例如：地震下建筑结构响应分析；机械设备受激振动响应仿真；航空航天结构动态性能评估等。求解振动的正问题并不是最终目的，更重要的是实现振动控制，即通过控制使振动系统的响应满足需求（丁文镜，1988；张阿舟，1989）。

表1 三类典型振动力学问题

问题类型	已知内容	求解目标	问题性质	应用方向
正问题	输入 + 系统特性	输出	正定、稳定	响应预测、设计分析
逆问题①	输入 + 输出	系统特性（参数）	不适定	系统识别、损伤检测
逆问题②	输出 + 系统特性	输入（载荷）	不适定	载荷识别、力历史重建

2. 已知输入和输出，求系统参数（逆问题 / 系统识别问题）

表达系统特性的方式很多，例如系统的质量、阻尼、刚度等，还有系统的频响函数、脉冲响应等。在该问题中，已知系统受某一激励（输入）并测得响应（输出），目标是识别系统的参数，如物理参数（质量、阻尼、刚度），或者模态参数（例如频率、阻尼比、振型）等（傅志方，1990）。

逆问题 / 系统识别问题，就是指给定了$F(t),x(t)$，求解$M,C,K$以及模态参数。应用场景例如：结构健康监测（SHM）；损伤识别（参数变化）；材料或连接部位参数识别；黑箱建模与系统建模。

求解方法包括：频域方法：模态分析（EMA）、频响函数拟合；时域方法：最小二乘法、Kalman滤波、子空间识别（SSI）；优化方法：遗传算法、粒子群、梯度下降。

该问题的特点包括：属于逆问题，通常病态，对测量误差敏感；需要优化、正则化等手段进行稳定求解；多用于未知或复杂结构的建模。

3. 已知输出和系统特性，求输入（逆问题 / 载荷识别问题）

载荷识别问题的目标是：在已知$M,C,K$和$x(t)$的前提下，求外载荷$F(t)$（张阿舟，1986）。

特点是：同样是与系统识别问题相似的逆问题，但是高度不适定（尤其是输入与输出维度不一致时），且对测量误差非常敏感，通常需要正则化技术（如 Tikhonov 正则化）。

求解方法包括：时域反演：最小二乘反演、反卷积法；模态空间反演：基于模态坐标求激励；状态空间方法：扩展卡尔曼滤波、最优估计；正则化方法：Tikhonov、TSVD、Bayesian 推断。

应用场景例如：冲击载荷识别（如车辆撞击、爆炸测试）；工程设备受力历史重建；零部件服役状态载荷监测（如风机叶片、桥梁）。

参考资料

张阿舟. 振动环境工程. 航空工业出版社. 1986
张阿舟 等. 振动控制工程. 航空工业出版社. 1989
丁文镜. 减震理论. 清华大学出版社. 1988
傅志方. 振动模态分析与参数辨识. 机械工业出版社. 1990
胡海岩. 机械振动基础. 北京航空航天大学出版社. 2005
刘延柱 等. 振动力学. 高等教育出版社. 1998