C++ 实现二叉树的后序遍历与中序遍历构建及层次遍历输出

一、实验背景与目标

本实验旨在深入掌握二叉树的后序遍历和中序遍历构建二叉树的方法，并学习按层次遍历输出二叉树节点的算法。通过本实验，能够理解并实践如何通过后序和中序遍历信息来构建二叉树，并利用队列进行层次遍历输出。

二、实验环境

• 开发环境：DevC++
• 语言：C++

三、实验内容

• 输入一个正整数 N ，表示二叉树中的节点数量。
• 输入该二叉树的后序遍历和中序遍历序列，数字间以空格分隔。
• 在一行中输出该树的层次遍历的序列，数字间以一个空格分隔，行首尾不得有多余空格。

四、数据结构与算法

数据结构

1. 树节点结构体：我们使用结构体来表示树的每一个节点，其中包括节点值以及左右子树的指针。

   struct TreeNode {
       int val;
       TreeNode* left;
       TreeNode* right;
   };
   

2. 队列：在层次遍历时，我们使用队列来保存当前需要处理的节点，队列的先进先出（FIFO）特性能够帮助我们按层次输出节点。

算法描述

1. 构建二叉树函数 buildTree

首先，根据给定的中序遍历数组 min[] 和后序遍历数组 post[]，我们可以递归地构建二叉树。

• 每次递归时，后序遍历的最后一个元素就是树的根节点。
• 然后在中序遍历中找到根节点的位置，从而确定左子树和右子树的范围，再递归构建左右子树。

TreeNode* buildTree(int min[], int post[], int n) {
    if (!n)
        return NULL;
    TreeNode* T = (TreeNode*)malloc(sizeof(struct TreeNode));
    T->val = post[n - 1];  // 后序遍历的最后一个节点就是树的根节点
    T->left = T->right = NULL;

    // 从中序遍历中找到根节点的位置
    int index;
    for (index = 0; index < n; index++) {
        if (min[index] == post[n - 1]) break;
    }
    T->left = buildTree(min, post, index);
    T->right = buildTree(min + index + 1, post + index, n - index - 1);
    return T;
}

2. 层次遍历函数 LevelOrder

使用队列进行层次遍历，按顺序输出二叉树的节点。队列帮助我们按层次处理每一个节点。

void LevelOrder(TreeNode* root) {
    if (root == NULL) return;

    queue<TreeNode*> q;
    q.push(root);
    
    bool first = true;
    while (!q.empty()) {
        TreeNode* node = q.front();
        q.pop();
        
        if (first) {
            cout << node->val;
            first = false;
        } else {
            cout << " " << node->val;
        }
        
        if (node->left) q.push(node->left);
        if (node->right) q.push(node->right);
    }
}

关键代码与解释

1. buildTree 函数：用于递归地构建二叉树。每次根据后序遍历的最后一个元素确定根节点，并在中序遍历中找到根节点的位置，从而递归构建左右子树。

2. LevelOrder 函数：用于层次遍历输出二叉树的节点。利用队列进行层次遍历，逐个输出节点的值。

完整代码

#include <iostream>
#include <queue>
#include <cstring>
using namespace std;

struct TreeNode {
    int val;
    TreeNode* left;
    TreeNode* right;
};

TreeNode* buildTree(int min[], int post[], int n) {
    if (!n)
        return NULL;
    TreeNode* T = (TreeNode*)malloc(sizeof(struct TreeNode));
    T->val = post[n - 1];  // 后序遍历的最后一个节点就是树的根节点
    T->left = T->right = NULL;

    int index;
    for (index = 0; index < n; index++) {
        if (min[index] == post[n - 1]) break;
    }
    T->left = buildTree(min, post, index);
    T->right = buildTree(min + index + 1, post + index, n - index - 1);
    return T;
}

void LevelOrder(TreeNode* root) {
    if (root == NULL) return;

    queue<TreeNode*> q;
    q.push(root);
    
    bool first = true;
    while (!q.empty()) {
        TreeNode* node = q.front();
        q.pop();
        
        if (first) {
            cout << node->val;
            first = false;
        } else {
            cout << " " << node->val;
        }
        
        if (node->left) q.push(node->left);
        if (node->right) q.push(node->right);
    }
}

int main() {
    int N;
    cin >> N;
    
    int post[N], min[N];
    for (int i = 0; i < N; i++) cin >> post[i];
    for (int i = 0; i < N; i++) cin >> min[i];
    
    TreeNode* root = buildTree(min, post, N);
    LevelOrder(root);
    
    return 0;
}

五、实验结果

六、总结与思考

通过这次实验，我们掌握了二叉树的构建方法以及层次遍历算法。理解了如何根据后序遍历和中序遍历序列构建二叉树，并学习了如何使用队列进行层次遍历输出。此算法在实际应用中非常重要，特别是在树的遍历、图的搜索等领域。

希望通过这个实验，能够为大家深入理解二叉树的操作和算法提供帮助。