1 简介
为了有效地利用雾状冰生长的物理现象，最近开发了一种优化算法——雾状优化算法（RIME）。它模拟硬雾状和软雾状过程，构建硬雾状穿刺和软雾状搜索机制。在本研究中，引入了一种增强版本，称为修改的RIME（MRIME），集成了多项式微分学习算子（PDLO）。与传统的RIME方法相比，PDLO的加入给RIME算法引入了非线性，提高了其适应性、收敛速度和全局搜索能力。
2. MRIME算法
RIME算法从自然过程，特别是软冰晶和硬冰晶的生长中汲取灵感，设计了其优化策略。冰晶粒子的位置代表搜索空间中的解向量。它通过两个阶段模拟相关的环境条件：软冰晶搜索（SRS）和硬冰晶穿刺（HRP）。它需要几个关键步骤来执行优化，如下所示。
2.1 冰晶初始化阶段
种群由 N m N_m Nm个冰晶代理初始化，每个代理表示为 D D D维的冰晶粒子。在初始化过程中采用随机搜索来确定搜索空间中冰晶粒子的位置。因此，冰晶代理种群，表示为 R P O P R_{POP} RPOP，由单个冰晶粒子的位置表示为 R M i j R_{Mij} RMij，如公式(10)所示。
R P O P = [ R M i j ] N m × D = [ R M 1 , 1 R M 1 , 2 ⋯ R M 1 , D R M 2 , 1 R M 2 , 2 ⋯ R M 2 , D ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ R M N m , 1 R M N m , 2 ⋯ R M N m , D ] R_{POP} = [R_{Mij}]_{N_m \times D} = \begin{bmatrix} R_{M1,1} & R_{M1,2} & \cdots & R_{M1,D} \\ R_{M2,1} & R_{M2,2} & \cdots & R_{M2,D} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ R_{MN_m,1} & R_{MN_m,2} & \cdots & R_{MN_m,D} \end{bmatrix} RPOP=[RMij]Nm×D= RM1,1RM2,1⋮RMNm,1RM1,2RM2,2⋮RMNm,2⋯⋯⋱⋯RM1,DRM2,D⋮RMNm,D
其中 R P O P R_{POP} RPOP是种群矩阵，由冰晶代理的向量组成（ N m × 1 N_m \times 1 Nm×1），每个冰晶代理向量由几个设计参数（ 1 × D 1 \times D 1×D）组成。
这些位置受到限制，具有上限（ U p j Up_j Upj）和下限（ L o j Lo_j Loj）边界，定义了每个维度的允许范围。采用许多基于种群的算法中观察到的传统方法，冰晶种群在初始阶段通过随机搜索过程进行初始化。初始化期间位置 R M i j R_{Mij} RMij的结果表达式如下：
R M i j = L o j + r d j ⋅ ( U p j − L o j ) , i = 1 : N m , j = 1 : D , R_{Mij} = Lo_j + r_{d_j} \cdot (Up_j - Lo_j), \quad i = 1 : N_m, j = 1 : D, RMij=Loj+rdj⋅(Upj−Loj),i=1:Nm,j=1:D,
其中 r d j r_{d_j} rdj是范围[0, 1]内随机选择的数字。
2.2 SRS阶段
算法模拟冰晶粒子在物体表面冻结的过程，模拟软冰晶的生长过程。冰晶代理在风和自身随机性的驱动下在搜索空间中移动，确保在早期迭代中广泛覆盖。冰晶代理的位置更新由以下公式确定，该公式包括最佳冰晶代理的位置、环境因素和随机性：
R m j = R m b e s t , j + r d 2 ⋅ β ⋅ cos ( θ ) ⋅ ( A D ⋅ ( U p j − L o j ) + L o j ) , if r d 2 < E , R_{mj} = R_{mbest,j} + r_{d_2} \cdot \beta \cdot \cos(\theta) \cdot (AD \cdot (Up_j - Lo_j) + Lo_j), \quad \text{if } r_{d_2} < E, Rmj=Rmbest,j+rd2⋅β⋅cos(θ)⋅(AD⋅(Upj−Loj)+Loj),if rd2<E,
其中粘附度（ A D AD AD）表征最佳冰晶代理与随机选择的冰晶代理之间的接近程度， A D AD AD限制在范围[0, 1]内。修改后的第 i i i个冰晶代理在SRS阶段后的维度 j j j的位置，表示为 R m j R_{mj} Rmj，基于最佳冰晶代理的位置 R m b e s t , j R_{mbest,j} Rmbest,j确定。方向控制由 r d 2 r_{d_2} rd2和 cos ( θ ) \cos(\theta) cos(θ)的插值控制，其中 r d 2 r_{d_2} rd2是范围[-1, 2]内的随机数。此外， r d 2 r_{d_2} rd2是范围[0, 1]内的随机数， θ \theta θ在公式(13)中定义。
θ = π ( t 10 ⋅ T m a x ) , \theta = \pi \left( \frac{t}{10 \cdot T_{max}} \right), θ=π(10⋅Tmaxt),
在这种情况下，符号“ t t t”表示迭代计数索引，而“ T m a x T_{max} Tmax”表示总迭代次数。
环境因子，表示为“ β \beta β”，模拟外部条件并确保冰晶种群的收敛，如公式(14)所示。
β = 1 − 1 ω ⋅ ( 1 round ( ω ⋅ t T m a x ) ) , \beta = 1 - \frac{1}{\omega} \cdot \left( \frac{1}{\text{round} \left( \frac{\omega \cdot t}{T_{max}} \right)} \right), β=1−ω1⋅ round(Tmaxω⋅t)1 ,
函数“round”用于四舍五入数值，参数“ ω \omega ω”用于调节步进函数的分割，默认值为5，如文献[29]所述。此外，变量“ r d 3 r_{d_3} rd3”是范围[0, 1]内的随机数，“ E E E”表示粘附系数，影响冰晶代理的凝聚概率。粘附系数随着整个搜索过程的迭代次数逐渐增加，如下所示：
E = ( t T m a x ) 1 / 2 , E = \left( \frac{t}{T_{max}} \right)^{1/2}, E=(Tmaxt)1/2,$
在强风条件下，算法模拟硬冰晶粒子的更简单和更规则的生长。HRP机制促进了代理之间的信息交换，以提高收敛性和跳出局部最优的能力，如下所示：
R m _ n e w , i j = { R m b e s t , j r d 4 < F i t μ ( R m i ) R m j Else , i = 1 : N m , j = 1 : D , R_{m\_new,ij} = \begin{cases} R_{mbest,j} & r_{d_4} < Fit^{\mu}(R_{m_i}) \\ R_{mj} & \text{Else} \end{cases}, \quad i = 1 : N_m, j = 1 : D, Rm_new,ij={Rmbest,jRmjrd4<Fitμ(Rmi)Else,i=1:Nm,j=1:D,
其中 R m _ n e w , i j R_{m\_new,ij} Rm_new,ij表示第 i i i个冰晶代理在维度 j j j中的新创建位置，而“ r d 4 r_{d_4} rd4”是范围[0, 1]内的随机数。如所示，冰晶代理的位置根据适应度值和归一化适应度值（ F i t μ ( R m i ) Fit^{\mu}(R_{m_i}) Fitμ(Rmi)）进行更新，促进了代理之间的交叉。
F i t μ ( R m i ) = F i t ( R m i ) ∑ i = 1 N m ( F i t ( R m i ) ) 2 , Fit^{\mu}(R_{m_i}) = \frac{Fit(R_{m_i})}{\sqrt{\sum_{i=1}^{N_m} (Fit(R_{m_i}))^2}}, Fitμ(Rmi)=∑i=1Nm(Fit(Rmi))2Fit(Rmi),
其中 F i t μ ( R m i ) Fit^{\mu}(R_{m_i}) Fitμ(Rmi)是关于冰晶代理 i i i的当前位置的适应度函数值。
2.4 提出的PLDO整合
在本文中，PLDO被整合以增强RIME算法的搜索能力和多样性。PLDO通常用于优化中的差分进化（DE）算法[44]。该算子通过合并两个随机选择的个体的信息来增强种群多样性，以更新当前冰晶代理的位置。PLDO是DE的扩展，通过适应突变策略来放大搜索空间内的探索和开发。PLDO中的突变公式结合了多项式函数，将非线性特性注入突变操作中。为了执行整合的PLDO，从种群中抽取两个随机整数（ i n d e x 1 index1 index1和 i n d e x 2 index2 index2）。随后，新派生的冰晶代理 i i i的位置可以公式化为：
R m _ n e w = R m i + ϕ ⋅ ( R m i n d e x 1 − R m i n d e x 2 ) , i = 1 : N m , R_{m\_new} = R_{m_i} + \phi \cdot (R_{m_{index1}} - R_{m_{index2}}), \quad i = 1 : N_m, Rm_new=Rmi+ϕ⋅(Rmindex1−Rmindex2),i=1:Nm,
其中 ϕ \phi ϕ是范围[0, 1]内生成的随机数。因此，更新涉及两个随机选择的元素（ R m i n d e x 1 R_{m_{index1}} Rmindex1和 R m i n d e x 2 R_{m_{index2}} Rmindex2）之间的加权差异，而权重 ϕ \phi ϕ控制这种差异对更新的贡献。
2.5 正向贪婪选择（PGS）阶段
在生成HRP-SRS阶段（公式(12)和(16)）或PLDO（公式(18)）中的冰晶粒子的新位置后，PGS机制用于比较更新前后的适应度值。如果更新后的适应度更好，则用次优解替换最优解，从而增强全局解的质量。该机制在更新过程中积极替换代理，以确保更优的种群进化。
2.6 迭代过程
图3a,b展示了标准RIME与所提出的MMIME优化器的主要步骤，其中整个过程在预定的迭代次数（ I m a x I_{max} Imax）内交替执行。在每次迭代中，所提出的MMIME利用SRS和HRP阶段或PLDO机制更新冰晶代理的位置，评估适应度值，并执行PGS。在所提出的MMIME中，引入PLDO，包含多项式函数，使每个突变向量组件的影响得到精细控制，为探索过程提供灵活性。通过排列引入的随机性增加了搜索空间探索的有效性。种群中的最佳冰晶代理由最佳适应度值确定，并作为优化问题的解决方案输出。
function [Best_rime_rate,Best_rime,Convergence_curve]=MRIME(N,Max_iter,lb,ub,dim)
% disp('RIME is now tackling your problem')
% initialize position
Best_rime=zeros(1,dim);
Best_rime_rate=inf;%change this to -inf for maximization problems
Rimepop=initialization(N,dim,ub,lb);%Initialize the set of random solutions
Lb=lb.*ones(1,dim);% lower boundary
Ub=ub.*ones(1,dim);% upper boundary
it=1;%Number of iterations
Convergence_curve=zeros(1,Max_iter);
Rime_rates=zeros(1,N);%Initialize the fitness value
newRime_rates=zeros(1,N);
W = 5;%Soft-rime parameters, discussed in subsection 4.3.1 of the paper
%Calculate the fitness value of the initial position
for i=1:N
% Rime_rates(1,i)=fobj(Rimepop(i,:));%Calculate the fitness value for each search agent
x=Rimepop(i,:);
[Im,Vm]=IVload;
Iph=x(1);
I0=x(2);
Rs=x(3);
Rsh=x(4);
n=x(5);
I02=x(6);
n2=x(7);
k = 1.380649e-23;
T = 306.15;
q = 1.602176634e-19;
Vth= k*T/q;
Ns=1;
a=n*Vth*Ns;
a2=n2*Vth*Ns;
I = -Vm./(Rs + Rsh) - lambertw(Rs.*I0.*Rsh.*exp(Rsh.*(Rs.*Iph + Rs.*I0 + Vm)./(a.*(Rs + Rsh)))./(a.*(Rs + Rsh))).*a./Rs...
- lambertw(Rs.*I02.*Rsh.*exp(Rsh.*(Rs.*Iph + Rs.*I02 + Vm)./(a2.*(Rs + Rsh)))./(a2.*(Rs + Rsh))).*a2./Rs + (Rsh.*(I0 + Iph + I02))./(Rs + Rsh);
fit_I=sqrt(sum((Im-I).^2)/length(Im));
Rime_rates(1,i)=fit_I;
%Make greedy selections
if Rime_rates(1,i)<Best_rime_rate
Best_rime_rate=Rime_rates(1,i);
Best_rime=Rimepop(i,:);
end
end
% Main loop
while it <= Max_iter
% it
RimeFactor = (rand-0.5)*2*cos((pi*it/(Max_iter*10)))*(1-round(it*W/Max_iter)/W);%Parameters of Eq.(3),(4),(5)
E =sqrt(it/Max_iter);%Eq.(6)
newRimepop = Rimepop;%Recording new populations
normalized_rime_rates=normr(Rime_rates);%Parameters of Eq.(7)
if rand>0.5
for i=1:N
for j=1:dim
%Soft-rime search strategy
r1=rand();
if r1< E
newRimepop(i,j)=Best_rime(1,j)+RimeFactor*((Ub(j)-Lb(j))*rand+Lb(j));%Eq.(3)
end
end
end
else
for i=1:N
newRimepop(i,:)=newRimepop(i,:)+rand*(newRimepop(randperm(N,1),:)-newRimepop(randperm(N,1),:));
end
end
for i=1:N
for j=1:dim
%Hard-rime puncture mechanism
r2=rand();
if r2<normalized_rime_rates(i)
newRimepop(i,j)=Best_rime(1,j);%Eq.(7)
end
end
end
for i=1:N
%Boundary absorption
Flag4ub=newRimepop(i,:)>ub;
Flag4lb=newRimepop(i,:)<lb;
newRimepop(i,:)=(newRimepop(i,:).*(~(Flag4ub+Flag4lb)))+ub.*Flag4ub+lb.*Flag4lb;
x=newRimepop(i,:);
[Im,Vm]=IVload;
Iph=x(1);
I0=x(2);
Rs=x(3);
Rsh=x(4);
n=x(5);
I02=x(6);
n2=x(7);
k = 1.380649e-23;
T = 306.15;
q = 1.602176634e-19;
Vth= k*T/q;
Ns=1;
a=n*Vth*Ns;
a2=n2*Vth*Ns;
I = -Vm./(Rs + Rsh) - lambertw(Rs.*I0.*Rsh.*exp(Rsh.*(Rs.*Iph + Rs.*I0 + Vm)./(a.*(Rs + Rsh)))./(a.*(Rs + Rsh))).*a./Rs...
- lambertw(Rs.*I02.*Rsh.*exp(Rsh.*(Rs.*Iph + Rs.*I02 + Vm)./(a2.*(Rs + Rsh)))./(a2.*(Rs + Rsh))).*a2./Rs + (Rsh.*(I0 + Iph + I02))./(Rs + Rsh);
fit_I=sqrt(sum((Im-I).^2)/length(Im));
newRime_rates(1,i)=fit_I;
%Positive greedy selection mechanism
if newRime_rates(1,i)<Rime_rates(1,i)
Rime_rates(1,i) = newRime_rates(1,i);
Rimepop(i,:) = newRimepop(i,:);
if newRime_rates(1,i)< Best_rime_rate
Best_rime_rate=Rime_rates(1,i);
Best_rime=Rimepop(i,:);
end
end
end
Convergence_curve(it)=Best_rime_rate;
it=it+1;
end
Hakmi S.H., Alnami H., Moustafa G., et al. Modified Rime-Ice Growth Optimizer with Polynomial Differential Learning Operator for Single-and Double-Diode PV Parameter Estimation Problem. Electronics. 2024, 13(9): 1611.
