乘最多水的容器 | 算法 | 给定一个整数数组。有n条垂线。找出其中的两条线，使得它们与 x 轴共同构成的容器可以容纳最多的水。

news2025/7/12 20:43:58

在我们日常生活中，蓄水似乎是一个极为朴素的物理行为：两堵墙之间，注入水，看谁能装得更多。可如果换个角度，从算法的视角去看这个问题，它会变得怎样？你是否意识到，这样一个简单的问题背后，隐藏着的是人类在面对“有限资源中寻找最优解”这一命题时，所展现出的智慧与思维模式？

一、从“装水问题”谈起：问题的提出与物理直觉

1.1 题目描述：算法问题的语义抽象

我们被给予一个整数数组 height，其每个元素代表一根垂直于 x 轴的线段的高度。第 i 条线段位于横坐标 i 处。我们要从中选择任意两条线段，以 x 轴为底，线段为侧壁，构成一个“容器”。求这个容器所能容纳的最大水量。

用数学语言表达就是：

给定数组：

我们要找到一对下标，使得：

1.2 物理直觉与几何建模

这道题的本质是一道几何问题。我们可以把每个数看作是平面直角坐标系中的一根垂直线段，其底部在 x 轴上。两个线段与 x 轴围成一个矩形槽，槽的高度取决于较短的那根线段，槽的宽度是两个线段之间的距离。

我们要做的，就是找到这样一对线段，使得这个“槽”的面积最大。

这个问题在现实世界中也有对应，比如修建两个挡水坝，在中间蓄水；又比如数据中心的冷却系统设计中，如何在有限结构中最大限度引导冷却液的流动。

二、暴力算法的尝试：最直接但最慢的方案

2.1 暴力破解：穷尽所有可能

最直观的思路是：我们可以枚举所有可能的左右边界组合，然后计算它们围成的面积，最后取最大值。

伪代码如下：

max_area = 0
for i in range(n):
    for j in range(i + 1, n):
        area = min(height[i], height[j]) * (j - i)
        max_area = max(max_area, area)

2.2 时间复杂度分析

这个算法的时间复杂度是，因为我们对每一对可能的 (i, j) 都进行了面积计算。在最坏情况下，当 n = 10^5 时，计算量为，这是不可接受的。

2.3 空间复杂度

空间复杂度仍为，因为我们没有使用额外空间存储结构。

三、数学建模与优化策略

3.1 关键思想：从局部最优走向全局最优

我们可以采用“双指针”策略：设置两个指针，一个从左边开始（left），一个从右边开始（right）。每次计算当前区间组成的容器面积，然后将较短的那一边向中间移动。为什么？因为移动较短边可能找出更高的线段，从而有机会获得更大的面积。

def maxArea(height):
    left, right = 0, len(height) - 1
    max_area = 0
    while left < right:
        width = right - left
        h = min(height[left], height[right])
        max_area = max(max_area, width * h)
        if height[left] < height[right]:
            left += 1
        else:
            right -= 1
    return max_area