代码随想录算法训练营 Day49 图论Ⅰ 深度优先与广度优先

news2025/5/22 19:13:06

图论

基础

图的概念

在这里插入图片描述

概念清单	有向图 (a)	无向图 (b)
有向/无向	如图 a 所示每条边有指向	如图 b 所示每条边没有箭头指向
权值	每条边的权值	每条边的权值
度	-	有几条边连到该节点 (eg $V_2$ 度为 3)
入度/出度	出度：从该节点出发的边个数入度：该节点接收到的边个数 eg. $V_1$ 入度 1 出度 2	-
连通图	任何节点可到达	任何节点都可到达
强连通图	任何节点可互相到达	任何节点可互相到达
连通分量	-	无向图的极大连通子图
强连通分量	有向图的极大强连通子图	-

图的构造

朴素法

定义一个 n*2 二维数组存储边的连接情况
缺点：查询只能全局遍历才能知道连接情况

邻接矩阵

从节点的角度表示图（空间大小由节点数量决定），使用二维数组表示图结构
如果要查询节点 i 和节点 j 的连接情况使用 grid[i][j] 查询
优点：构造简单、查询快速、适合稠密图（点少边多）
缺点：稀疏矩阵情况效率低

邻接矩阵

![[0-2 基础数据结构Ⅲ 图及其概念-250518-2.png|500]]
从边的角度表视图（空间大小由边的数量决定），使用数组 + 链表方式表达
如果要查询节点 i 与节点 j 连接情况遍历 grid[i] 或 grid[j] 链表
优点：方便节点遍历，空间利用率高
缺点：查询边的情况需要查询一串链表，存在耗时情况，代码实现复杂

图的遍历方式

深度优先搜索 DFS

![[0-2 基础数据结构Ⅲ 图及其概念-250518-3.png|500]]
深度优先搜索：不见黄河不回头，每个分支都尽可能深度搜索
首先选择一个路径一直按照某个元素访问到终点后，回溯最后一步接着继续搜索
深度优先搜索三部曲，类似于回溯三部曲 ![[Day22 回溯Ⅰ 理论数的组合#回溯法的模板]]

确认递归函数的参数与返回值
一般情况，深搜需要二维数组数组结构保存所有路径，需要一维数组保存单一路径，这种保存结果的数组，我们可以定义一个全局变量，避免让我们的函数参数过多。
确定终止条件
处理同层搜索节点的逻辑，遍历当前节点的所有节点做搜索

void DFS(param) {
    if (终止条件) {
        存放结果;
        return;
    }
    
    for (选择本层节点的所有节点用于搜索) {
        节点内容的处理;
        DFS(图, 选择的节点);
        回溯，撤销结果
    }
}

广度优先搜索

广度优先搜索的方向类似于水的涟漪，会从中心点呈现放射状搜索
在这里插入图片描述

广度优先搜索的代码类似于二叉树的层序遍历

// 代码模板
vector<vector<int>> levelOrder(TreeNode* root) {
    std::queue<TreeNode*> que;
    std::vector<std::vector<int>> res;
    if (root != nullptr) que.push(root);
    
    while (!que.empty()) {
        // 记录每一层的size 控制弹出均为一层一层弹出
        int layerSize = que.size();
        TreeNode* cur;
        std::vector<int> layerRes;
        while (layerSize--) {
            cur = que.front();
            que.pop();
            layerRes.push_back(cur->val);
            if (cur->left != nullptr) que.push(cur->left);
            if (cur->right != nullptr) que.push(cur->right);
        }
        res.push_back(layerRes);
    }
    return res;
}
// 递归法
void Order(TreeNode* cur, std::vector<std::vector<int>>& res, int depth) {
    if (cur == nullptr) return;
    if (depth == res.size()) res.push_back(vector<int>());
    res[depth].push_back(cur->val);
    Order(cur->left, res, depth + 1);
    Order(cur->right, res, depth + 1);
}

vector<vector<int>> levelOrder(TreeNode* root) {
    std::vector<std::vector<int>> res;
    Order(root, res, 0);
    return res;
}

广度搜索的数据记录结构可以使用队列、也可以使用栈、或者普通数组，区别在于遍历顺序不同
队列遍历：一直顺序转圈遍历
栈遍历：顺时针、逆时针交错遍历
默认使用最广的方法就是队列作为数据的记录
代码实现方法
1. 定义队列，定义动作数组用于实现上左下右的操作顺序，队列中存储坐标位置
2. 创建数据入队，设定访问情况标记数组，一直循环遍历队列直到空为止
1. 循环内部取元素并弹出
2. 遍历四个方向内容并加入队列中，期间判定越界情况
3. 访问标记防止重复入队

// 参考代码
int dir[4][2] = {0, 1, 1, 0, -1, 0, 0, -1}; // 表示四个方向
// grid 是地图，也就是一个二维数组
// visited标记访问过的节点，不要重复访问
// x,y 表示开始搜索节点的下标
void bfs(vector<vector<char>>& grid, vector<vector<bool>>& visited, int x, int y) {
    queue<pair<int, int>> que; // 定义队列
    que.push({x, y}); // 起始节点加入队列
    visited[x][y] = true; // 只要加入队列，立刻标记为访问过的节点
    while(!que.empty()) { // 开始遍历队列里的元素
        pair<int ,int> cur = que.front(); que.pop(); // 从队列取元素
        int curx = cur.first;
        int cury = cur.second; // 当前节点坐标
        for (int i = 0; i < 4; i++) { // 开始想当前节点的四个方向左右上下去遍历
            int nextx = curx + dir[i][0];
            int nexty = cury + dir[i][1]; // 获取周边四个方向的坐标
            if (nextx < 0 || nextx >= grid.size() || nexty < 0 || nexty >= grid[0].size()) continue;  // 坐标越界了，直接跳过
            if (!visited[nextx][nexty]) { // 如果节点没被访问过
                que.push({nextx, nexty});  // 队列添加该节点为下一轮要遍历的节点
                visited[nextx][nexty] = true; // 只要加入队列立刻标记，避免重复访问
            }
        }
    }
}

题目

代码随想录图论中的算法题目将统一使用 ACM 模式，为什么要使用ACM模式强化图的构造。
98. 所有可达路径
797. 所有可能的路径 - 力扣（LeetCode）
可到达路径是深度优先搜索的裸题
使用深度优先搜索代码模板实现，给出邻接矩阵与邻接表的实现方式

#include <iostream>
#include <vector>
// 全局变量用于记录路径
std::vector<std::vector<int>> res;
std::vector<int> path;

// 深度优先算法核心
// 第一步 确定dfs的参数 图结构 当前遍历到哪里了 目标遍历位置
void dfs(std::vector<std::vector<int>>& graph, int cur, int fin) {
    // 第二步 判断终止条件
    if (cur == fin) {
        res.push_back(path);
        return;
    }
    // 第三步 单层循环处理逻辑
    for (int j = 1; j <= fin; ++j) {
        // 寻找当前节点所有可能的连接点
        if (graph[cur][j] == 1) {
            path.push_back(j);
            dfs(graph, j, fin);
            path.pop_back();
        }
    }
}

int main() {
    // 输入处理 构建图的过程
    int n, m, s, t;
    std::cin >> n >> m;
    // 采用邻接矩阵实现
    std::vector<std::vector<int>> graph(n+1, std::vector<int>(n+1, 0));
    for (int i = 0; i < m ;++i) {
        std::cin >> s >> t;
        graph[s][t] = 1; // 表示s与t连接
    }

    // 核心调用 求1到n的路径
    path.push_back(1);
    dfs(graph, 1, n);

    // 打印输出结果
    if (res.size() == 0) std::cout << -1 << std::endl;
    for (int i = 0; i < res.size(); ++i) {
        for (int j = 0; j < res[i].size() - 1; ++j) {
            std::cout << res[i][j] << " ";
        }
        std::cout << res[i][res[i].size()-1] << std::endl;
    }

    return 0;
}

// 邻接表方法 注意访问邻接表的方法 for(int j : xx)
#include<iostream>
#include<vector>
#include<list>

std::vector<std::vector<int>> res;
std::vector<int> path;
int n, m, s, t;

void dfs(std::vector<std::list<int>>& graph, int cur, int fin) {
    if (cur == fin) {
        res.push_back(path);
        return;
    }
    // 邻接表有数据就代表边 链表只能顺序访问
    for (int j : graph[cur]) {
        path.push_back(j);
        dfs(graph, j, fin);
        path.pop_back();
    }
}

int main() {
    std::cin >> n >> m;
    // 定义邻接表
    std::vector<std::list<int>> graph(n+1);
    for(int i = 0; i < m; ++i) {
        std::cin >> s >> t;
        graph[s].push_back(t);
    }

    path.push_back(1);
    dfs(graph, 1, n);

    if (res.size() == 0) std::cout << -1 << std::endl;
    for (int i = 0; i < res.size(); ++i) {
        for (int j = 0; j < res[i].size()-1; ++j) {
            std::cout << res[i][j] << " ";
        }
        std::cout << res[i][res[i].size()-1] << std::endl;
    }

    return 0;
}

// LeetCode 797
vector<vector<int>> res;
vector<int> path;

void dfs(std::vector<vector<int>>& graph, int cur, int fin) {
	if (cur == fin) {
		res.push_back(path);
		return;
	}
	for (int i : graph[cur]) {
		path.push_back(i);
		dfs(graph, i, fin);
		path.pop_back();
	}
}

vector<vector<int>> allPathsSourceTarget(vector<vector<int>>& graph) {
	path.push_back(0);
	dfs(graph, 0, graph.size()-1);
	return res;
}