CG10上

• Frenet-Serret框架

  • 空间中一条曲线可以写成参数形式：

    $$\mathbf{C}(u)=(x(u),y(u),z(u))$$
    这表示：当参数 $u$ 变化时，曲线在三维空间中移动，生成一条轨迹。每个参数值 $u_0$ 对应一个点 $\mathbf{p}=\mathbf{C}(u_0)$。

  • 切线向量 T（Tangent Vector）

    定义为曲线的一阶导数：
    $${\mathbf{C}}_u=\frac{d\mathbf{C}(u)}{du}$$
    它表示曲线在点 $\mathbf{p}=\mathbf{C}(u_0)$ 处的“切线方向”，也就是“曲线在这个点要往哪里走”的方向。

    单位切线向量记作：
    $$\mathbf{T}=\frac{{\mathbf{C}}_u}{\Vert {\mathbf{C}}_u\Vert }$$

  • 二阶导数 C_uu 与曲率信息

    曲线的二阶导数：
    $${\mathbf{C}}_{uu}=\frac{d^2\mathbf{C}(u)}{d{u}^2}$$
    它反映了“切线变化的速度”，也就是曲率方向。但注意：它不一定垂直于切线。

  • 如何从 C_uu 得到“法线向量 N”

    因为 ${\mathbf{C}}_{uu}$ 不一定与切线垂直，所以我们要把它正交化，也就是去掉它在切线方向上的分量：
    $$\mathbf{N}=\frac{{\mathbf{C}}_{uu}-(\mathbf{T}\cdot {\mathbf{C}}_{uu})\mathbf{T}}{\Vert {\mathbf{C}}_{uu}-(\mathbf{T}\cdot {\mathbf{C}}_{uu})\mathbf{T}\Vert }$$

  • 副法线的定义：

    副法线（Binormal）是一个向量，与切线 T 和法线 N 都垂直，它保证了一个右手坐标系的存在。
    $$\mathbf{B}=\mathbf{T}\times \mathbf{N}$$
    也可以用一个更直接的定义来算：
    $$\mathbf{B}=\frac{{\mathbf{C}}_u\times {\mathbf{C}}_{uu}}{\Vert {\mathbf{C}}_u\times {\mathbf{C}}_{uu}\Vert }$$
    它本质上描述了曲线弯曲所在的平面法向量。

  • 三个向量构成 Frenet-Serret 框架

    • $\mathbf{T}$：切线，方向
    • $\mathbf{N}$：法线，朝向曲率中心
    • $\mathbf{B}$：副法线，保证三维正交系统

    这个三元组 $\mathbf{T},\mathbf{N},\mathbf{B}$ 就叫做Frenet-Serret Frame，在计算机图形学、机械臂、路径规划中非常常见。

  • 切向量：

    对参数曲面 $S(u,v)$，求偏导：

    • ${\partial }_{u}S=\frac{\partial S}{\partial u}$ 是曲面沿 u 方向的切向量；
    • ${\partial }_{v}S=\frac{\partial S}{\partial v}$ 是曲面沿 v 方向的切向量。

    这两个向量定义了曲面在点 $S(u,v)$ 处的“局部方向”。

    切平面：

    由这两个切向量张成的平面称为切平面，它是曲面在该点的一阶近似，即局部的“平面化”。

    任何落在这个切平面上的向量都可以表示为：
    $$w=a\cdot {\partial }_{u}S+b\cdot {\partial }_{v}S$$

  • 法向量（Normal Vector）

    $$\mathbf{n}={\partial }_{u}S\times {\partial }_{v}S$$
    通常会单位化，得：
    $$\hat{\mathbf{n}}=\frac{{\partial }_{u}S\times {\partial }_{v}S}{\Vert {\partial }_{u}S\times {\partial }_{v}S\Vert }$$

  • 曲面微分属性

    • 法平面（Normal Plane）：

      在一个曲面点处，通过该点和法向量方向构成的平面。

    • 法截线（Normal Section）：

      法平面与曲面相交得到一条曲线，称为法截线。它描述了曲面在该方向上的“弯曲性”。

    • 法曲率（Normal Curvature）：

      法截线的曲率称为法曲率。因为通过一个点有无数个方向（即无数个法平面），所以有无数个法曲率。

  • 主曲率与主方向（Principal Curvatures & Directions）

    主曲率：

    在所有方向上的法曲率中，有两个极值：

    • 最大的称为 $K_{\max }$
    • 最小的称为 $K_{\min }$

    它们分别沿着某两个正交方向，称为主方向。

    主曲率定义了曲面在该点的最大/最小弯曲强度。

  • 各向同性与各向异性（Isotropic vs Anisotropic）

    • 各向同性：

      如果曲面在该点处的所有方向的法曲率都一样，即：
      $$K_{\max }=K_{\min }>0$$
      那么该点是各向同性的，比如球面上的任意点，向任何方向看都一样。

      • 特例：如果 $K_{\max }=K_{\min }=0$，那该点是平坦的，例如平面。

    • 各向异性：

      如果两个主曲率不同，说明表面在不同方向上的弯曲程度不同，即各向异性，并分为：

      类型	条件	例子
      椭圆型	$K_{\min }>0,K_{\max }>0$	椭球表面
      抛物型	$K_{\min }=0,K_{\max }>0$	抛物面
      双曲型	$K_{\min }<0,K_{\max }>0$	马鞍面

  • 主曲率的计算：

    通常来自于一个称为**形状算子（Shape Operator）**的矩阵，它是法向量随参数方向变化的度量，求其特征值可得主曲率。

    在计算中经常用：
    $$K_{\max },K_{\min }=\text{eigvals}(S)$$

  • 高斯曲率（Gaussian Curvature）：

    $$K=K_{\min }\cdot K_{\max }$$

    • 如果 $K>0$：像球一样凸；
    • 如果 $K<0$：像马鞍一样弯；
    • 如果 $K=0$：平坦或呈抛物型。

  • 平均曲率（Mean Curvature）：

    $$H=\frac{1}{2}(K_{\min }+K_{\max })$$

    它衡量的是整体的弯曲程度，常用于表面平滑（如 Laplace 平滑）和模拟物理形变。

• 网格质量（Mesh Quality）

  • 定义：

    网格质量描述了一个几何模型的离散表示（通常是三角网格）在几何、光滑性、拓扑规则性和可视性等方面的优劣。

    高质量网格意味着：

    • 表面平滑；
    • 形状还原真实；
    • 无严重畸变；
    • 可支持高质量渲染或数值模拟。

  • 网格质量的几何度量

    (1) 弯曲能量（Strain Energy）

    公式：
    $$E={\int }_S({\kappa }_1^2+{\kappa }_2^2)dA$$

    • ${\kappa }_1,{\kappa }_2$：主曲率；
    • $dA$：曲面上的面积元素。

    含义：

    • 这是衡量表面“弯曲强度”的能量；
    • 弯曲越剧烈，能量越大；
    • 平滑表面能量低，尖锐区域能量高。

    📌 应用：用于光滑化算法或曲面重建中，控制曲率突变。

    (2) 曲率变化量（Variation of Curvature）

    $$E={\int }_S\left({\left(\frac{\partial {\kappa }_1}{\partial t_1}\right)}^2+{\left(\frac{\partial {\kappa }_2}{\partial t_2}\right)}^2\right)dA$$

    • 表示曲率随某一方向（如切向）变化的剧烈程度。

    用途：

    • 检测表面是否过于“起伏不定”；
    • 过大的变化常表示几何噪声或采样不良。

  

  • 网格质量的视觉评估方法

    我们无法总是计算积分能量，因此常使用图形学视觉工具进行直观判断。

    (1) 镜面高光（Specular Shading）

    • 模拟真实光照产生的高光区域；
    • 表面平滑 → 高光连续；
    • 表面不平滑 → 高光断裂或斑驳。

    高光是对法向量连续性的“放大镜”。

    (2) 反射线（Reflection Lines）

    • 虚拟“反射条纹”模拟物体映射周围环境；
    • 条纹不连续、破碎 → 表面不光滑；
    • 可检测高阶法向量变化。

    反射线的可微性比曲面低一阶（如果曲面是 $C^2$，反射线是 $C^1$），对法向不连续极其敏感。

    (3) 平均曲率与高斯曲率可视化

    • 平均曲率 $H$：
      • $H=\frac{{\kappa }_1+{\kappa }_2}{2}$
      • 高值区域表示鼓起或凹陷。
    • 高斯曲率 $K$：
      • $K={\kappa }_1\cdot {\kappa }_2$
      • 用于识别曲面类型（球面、鞍面等）

  • 网格质量原则（Principles）

    总结所有度量和可视化方法，抽象为四大原则：

    (1) 光滑性 Smoothness

    • 表面应无法向突变；
    • 曲率连续，避免尖角或高频振动；
    • 关键指标：平均曲率、反射线连续性。

    (2) 低噪声 Low Geometric Noise

    • 指网格点无“跳动”；
    • 常由扫描误差或压缩失真引起；
    • 滤波和平滑算法可减少噪声。

    (3) 网格规则性（Regularity）

    • 网格元素（如三角形）应尽可能接近理想形状（等边）；
    • 避免出现“长针”“瘦帽”等畸形三角形。

    形状分析：

    • Circumradius / shortest edge：
      • 外接圆半径/最短边；
      • 值越大越畸形。

    常见畸形：

    • Needle：一条边极短；
    • Cap：一角极小，像帽子；
    • 两者都会引起插值不稳定、渲染噪声。

    (4) 低畸变 Low Distortion

    • 网格应尽可能忠实地表示原始几何；
    • 拉伸或压缩会导致纹理失真、动画失效；
    • 关键指标：面积/角度保持性、Jacobian determinant。

    按ppt是这四个：

    • 光滑性
      • 低的几何噪声
    • 网格的动态划分
      • 低复杂性
    • 三角形形状
      • 数值健壮性
    • 特征保持
      • 低的法向噪声

  • 网格质量优化（Mesh Optimization）

    核心目标：

    • 提升光滑性；
    • 保持几何特征；
    • 消除畸形元素。

    方法：

    • 重采样（Remeshing）：重新生成网格，使其规则。
    • 光滑算法（Fairing）：
      • Laplacian smoothing；
      • Taubin smoothing；
      • Mean curvature flow；
    • 能量最小化：如最小二乘曲率能量。

• 网格噪声与网格光滑

  • 什么是网格噪声？

    • 定义：真实世界中通过3D扫描（如激光、结构光）得到的三角网格模型中常包含高频、不规则的小扰动，这些即为“网格噪声”。
    • 常见来源：
      • ✳️ 激光扫描仪 / 投影扫描仪的测量误差；
      • ✳️ 环境光照/反射干扰；
      • ✳️ 逆向工程中点云拟合误差。

  • 网格噪声的特征

    • 局部小突起或凹陷；
    • 曲率变化剧烈；
    • 不能被肉眼立即识别但影响后续计算（如纹理贴图、物理仿真）。

  • 网格质量评估指标

    • 曲率相关指标

      • 平均曲率 H：
        $$H=\frac{{\kappa }_1+{\kappa }_2}{2}$$

      • 高斯曲率 K：
        $$K={\kappa }_1\cdot {\kappa }_2$$

      • 高曲率处往往是噪声或尖锐几何特征。

    • 能量函数

      • Strain Energy（应变能）：
        $$E={\int }_S({\kappa }_1^2+{\kappa }_2^2)dA$$

      • 表示曲面弯曲“剧烈程度”，越剧烈则能量越高。

    • 视觉分析

      • Specular Shading：高光断裂表明法向不连续；
      • Reflection Lines：反射线不平滑表明曲率突变；
      • Curvature Map：颜色映射曲率变化，红色表示“危险区”。

  • 网格去噪的目标与挑战

    • 目标：

      1. 消除高频扰动（低通滤波）；
      2. 保持全局几何特征（如边缘、尖锐转角）。

    • 挑战：

      • 如果光滑过度 ➜ 会模糊特征；
      • 如果保留所有特征 ➜ 噪声仍在。

  • 网格光滑（Mesh Smoothing）方法

    • 核心思想

      通过移动网格顶点（不改拓扑）来减少噪声、改善三角形质量、增强视觉平滑性。

    • 基本流程（形状演化）

      $${\mathbf{P}}_{\text{new}}={\mathbf{P}}_{\text{old}}+\lambda \mathcal{H}({\mathbf{P}}_{\text{old}})$$

      • ${\mathbf{P}}_{\text{new}}$：更新后顶点位置；
      • $\lambda$：步长（控制光滑程度）；
      • $\mathcal{H}$：光滑算子（如 Laplace 算子）；

    • 显式 vs 隐式 光滑方法

      方法	形式	优点	缺点
      显式（Explicit）	${\mathbf{M}}_{n+1}={\mathbf{M}}_n+\lambda \mathbf{L}({\mathbf{M}}_n)$	简单、直观	需小步长，容易不稳定
      隐式（Implicit）	$(\mathbf{I}-\lambda \mathbf{L}){\mathbf{M}}_{n+1}={\mathbf{M}}_n$	稳定，可用大步长	需要求解线性系统，复杂

• 拉普拉斯光滑（Laplacian Smoothing）

  • 核心思想

    拉普拉斯光滑等价于一种“扩散过程” —— 就像热量在金属中扩散一样，网格顶点也向“邻域平均”方向流动。

    数学模型（连续形式）：
    $$\frac{d\mathbf{P}}{dt}=\mathbf{L}(\mathbf{P})$$
    其中 $\mathbf{P}$ 是顶点位置，$\mathbf{L}$ 是拉普拉斯算子，代表“顶点 - 邻居中心”的方向。

  • 拉普拉斯算子的定义（邻域平均）

    最基本的均匀拉普拉斯算子定义为：
    $$\mathbf{L}(v_i)=\sum _{j\in N(i)}\frac{1}{|N(i)|}(v_j-v_i)$$

    • $N(i)$：顶点 $v_i$ 的邻居集合；
    • 表示顶点朝“邻域平均位置”移动。

    也可以表示为：
    $$v_i^{\text{new}}=v_i+\lambda \sum _{j\in N(i)}{w}_{ij}(v_j-v_i)$$
    其中 $w_{ij}$ 是邻居 $j$ 对 $i$ 的影响权重。

• 加权拉普拉斯（Weighted Laplacian）

  为更好反映网格几何特征，引入不同的加权策略：

  1. Umbrella Weights（雨伞权重）

  $$w_{ij}=\frac{1}{|N(i)|}$$

  • 所有邻点贡献相等；
  • 简单但容易模糊尖锐特征。

  ---

  2. Mean Value Weights（均值权重）

  $$w_{ij}=\tan ({\varphi }_{ij}/2)+\tan ({\varphi }_{ij+1}/2)$$

  • $\varphi$ 是邻域角；
  • 对于非均匀三角网格，效果优于 Umbrella。

  ---

  3. Cotangent Weights（余切权重）

  $$w_{ij}=\cot ({\alpha }_{ij})+\cot ({\beta }_{ij})$$

  • ${\alpha }_{ij},{\beta }_{ij}$：边对角的两个角；
  • 准确地考虑了网格局部几何；
  • 广泛用于曲率估计和几何优化。

• 保留细节：限制沿法线方向平滑

  为防止顶点在切向方向滑动导致细节丢失，可以只让顶点在法线方向上移动：
  $${\mathbf{P}}_{\text{new}}={\mathbf{P}}_{\text{old}}+\lambda \cdot (\mathbf{L}({\mathbf{P}}_{\text{old}})\cdot \mathbf{n})\cdot \mathbf{n}$$

  • $\mathbf{n}$：顶点法向量；
  • 只在法线方向投影位移；
  • 可以保留曲线棱边或结构特征。

• 拉普拉斯光滑等价于最小化以下二次能量函数：

  $$E(\mathbf{P})=\sum _{(i,j)\in \text{edges}}\Vert v_i-v_j{\Vert }^2$$

  • 这个能量表示“网格的不平滑程度”；
  • 最小化该能量可使边尽可能均匀，曲面趋于光滑。

• 拉普拉斯光滑中的特征保留技术详解

  • 为什么需要特征保留的拉普拉斯光滑？

    问题：
    标准的拉普拉斯光滑通过顶点向邻居平均位置靠拢来减少噪声，但也容易模糊模型的重要几何特征（如折线边、尖角、细节部位）。

    目标：
    在实现整体平滑的同时，保留曲面重要形状结构。

  • 形状保留方法概览

    方法类型	原理	实现方式
    固定点 / 区域	直接不动某些点	设置拉普拉斯为 0，即 $L(v_i)=0$
    软约束	局部减少光滑强度	对不同区域设定不同 $\lambda$，如边缘附近小、内区大
    全局优化	整体建模优化问题	一次性求解全局最小二乘问题
    面约束	限制局部面片的重心变化	防止局部形状偏移
    特征检测	预识别需保留的结构	边缘检测、法向量变化检测等

  • 全局拉普拉斯光滑框架（Global Smoothing）

    优势

    • 一次性求解整个网格的顶点位置；
    • 更适合配合多种约束；
    • 具有数值稳定性和整体性。

  • 添加约束实现特征保留

    • 顶点约束（Vertex Constraints）

      目的：保持某些关键点（如边缘、尖角）位置不变。

      形式：

      • 软约束：
        $$\Vert L{X}^{\prime }{\Vert }^2+{\mu }^{-2}\sum _{i\in C}\Vert v_i^{\prime }-v_i{\Vert }^2$$

      • 强约束（硬约束）：
        $$v_i^{\prime }=v_i\text{直接固定}$$

      结果：保留特征点，其他区域仍可平滑。

    • 面约束（Face Constraints）

      目的：限制面片的整体形状变化（如三角形的重心不偏移）。

      能量函数：
      $$\underset{X}{\min }\left\{\Vert L{X}^{\prime }{\Vert }^2+\sum _{⟨i,j,k⟩\in T}{\lambda }^2{\Vert (v_i^{\prime }+v_j^{\prime }+v_k^{\prime })-(v_i+v_j+v_k)\Vert }^2\right\}$$

      • $T$：所有三角面片索引集合；
      • 控制重心不变，保留局部形状；
      • 参数 $\lambda$ 控制保留强度。

    • 其他线性约束

      约束类型	用途
      边约束	保留边的长度或方向，避免折线模糊
      一阶邻域重心约束	控制小区域不整体漂移
      法向量约束	保持曲面的朝向不变（例如用于光滑法向）

    • 总目标函数为：

      $$\underset{X}{\min }\left\{\Vert L{X}^{\prime }{\Vert }^2+\sum _{i\in C}\mu \Vert v_i^{\prime }-v_i{\Vert }^2+\sum _{⟨i,j,k⟩\in T}{\lambda }^2\Vert (v_i^{\prime }+v_j^{\prime }+v_k^{\prime })-(v_i+v_j+v_k){\Vert }^2\right\}$$

      • 第一项：拉普拉斯平滑能量；
      • 第二项：顶点位置保留；
      • 第三项：面片重心保留；
      • 参数 $\mu ,\lambda$：控制权重，平衡保留与光滑程度。

    • 线性系统求解方法

      设系统矩阵为 $A$，未知顶点为 $x$，构成超定系统：
      $$Ax=b$$
      使用最小二乘法解得：
      $$x=(A^{T}A{)}^{-1}{A}^{T}b$$
      优点：

      • 数值稳定；
      • 可加入任意线性约束；
      • 利用稀疏矩阵求解器效率更高。

    • 特征检测用于约束预处理

      为自动设置约束位置，可使用启发式特征检测方法，例如：

      ✅ 法向量变化检测

      • 若相邻面片法向量夹角大于阈值 → 识别为折线；
      • 这些点加入顶点约束集合 $C$。

      ✅ 曲率检测（可选）

      • 利用高斯曲率 / 平均曲率高值区识别尖角；
      • 保留这些高曲率点或边界。

    输入网格 → 特征检测 → 添加约束（点、面） 
              ↓
         构造拉普拉斯矩阵 + 约束矩阵
              ↓
          求解最小二乘系统
              ↓
            输出平滑网格（保留特征）
    

• 视图

  • 定义视图：从不同角度或方式观察物体生成的图像。
  • 视图生成的关键因素：
    • 物体本身的几何形状和尺寸。
    • 观察者的视点位置和观察方向。

• 图形渲染管线（Graphics Pipeline）：

  • 几何管线：
    • 变换（Transform）：包括模型变换、视图变换、投影变换。
    • 裁剪（Clip）：移除视体外的几何体。
    • 投影（Project）：将3D场景映射到2D平面。
  • 像素管线：处理像素操作（如纹理映射、颜色混合）。
  • 框架：OpenGL程序控制管线，渲染结果存储在帧缓冲区（Frame Buffer）。

• 视图生成相关的变换类型：

  • 3D变换：模型的平移、旋转、缩放等。
  • 视图变换：将世界坐标系转换为相机坐标系。
  • 相机变换：调整相机位置和方向（与视图变换类似）。
  • **投影变换：**将3D场景映射到2D平面，分为：
    • 正交投影（Orthographic）：平行投影，保持尺寸不变。
    • 透视投影（Perspective）：模拟人眼，远处的物体显得更小。

• 经典视图的三个基本元素：

  • 物体：需要渲染的3D几何体。
  • 观察者与投影面：观察者的视点和投影平面（如屏幕）。
  • 投影线：从物体到投影面的映射路径。

• 投影：将3D场景映射到2D平面。

  两种主要投影类型：

  • 正交投影：投影线平行，保持物体尺寸。
  • 透视投影：投影线汇聚于一点，模拟远近大小变化。

• 平面几何投影的分类：

  • 平行投影：
    • 多视图正交投影：如正面、顶面、侧面图。
    • 轴测投影：
      • 等轴测（Isometric）：三个轴角度相等。
      • 二轴测（Dimetric）：两个轴角度相等。
      • 三轴测（Trimetric）：三个轴角度不同。
    • 斜投影：投影线与投影平面非垂直。
  • 透视投影：
    • 一点透视：一个消失点。
    • 两点透视：两个消失点。
    • 三点透视：三个消失点。

  

• 计算机视图生成的三个关键步骤：

  • 相机定位：通过模型-视图矩阵（model-view matrix）设置相机位置和方向。
  • 选择镜头：通过投影矩阵（projection matrix）定义投影类型（如透视或正交）。
  • 裁剪：定义视体（view volume），移除体外的几何体。

• OpenGL相机模型的默认设置：

  • 相机与物体坐标系初始重合（单位模型-视图矩阵）。
  • 相机位于原点，朝负z轴方向。
  • 默认视体：边长为2的立方体，中心在原点。
  • 默认投影矩阵：单位矩阵，相当于正交投影。

  

• 相机移动的实现：

  通过旋转和平移序列调整相机到任意位置。

  示例（侧视图）：

  glTranslatef(0.0, 0.0, -d);
  glRotatef(-90.0, 0.0, 1.0, 0.0);
  

  • 旋转相机（绕y轴旋转-90°）。
  • 平移相机（沿负z轴移动d）。

  参数	解释
  -90.0	旋转角度，单位是度（degree）。负号表示 顺时针旋转（沿指定轴的右手法则反方向）
  0.0, 1.0, 0.0	旋转轴向量，即绕哪个轴旋转。这里是绕 y 轴 旋转，因为只有 y 分量是 1

  模型-视图矩阵：C = T * R（先旋转后平移）。

  **变换顺序：最后定义的变换（旋转）先应用，然后是平移。**即，后定义先使用

  完整：

  glMatrixMode (GL_MODELVIEW)
  glLoadIdentity();
  glTranslatef(0.0, 0.0, -d);
  glRotatef(-90.0, 0.0, 1.0, 0.0);
  

• 视口内容的四个相机参数：

  • 相机位置：视点坐标。
  • 观察方向：相机指向的方向。
  • 相机朝向：相机的上下方向（避免翻转）。
  • 视口大小：投影平面的尺寸。

  gluLookAt(eyex, eyey, eyez, atx, aty, atz, upx, upy, upz)

  • 眼位置：相机所在点。

  • 观察点：相机指向的点，定义观察方向。view direction=（atx-eyex, aty-eyey, atz-eyez）

  • 上向量：定义相机的朝上方向，避免翻转。

  gluLookAt生成模型-视图矩阵，将世界坐标系变换到相机坐标系。