1. 背景
最近都在写论文回复信。有个审稿人问了一个问题——为什么对于一般PMSM系统而言相电流五、七次谐波电流会比较大？同时，为什么相电流五、七次谐波电流会在dq基波旋转坐标系构成六次谐波电流？
回答这个问题挺简单的，但在网上并没有看到充分地回答，所以在这里解释一下。
回答这个问题需要从两个点考虑：
1）谐波电压的来源；
2）电机的阻抗。
2.谐波电压的来源
谐波电压的来源主要有两个：
1）永磁体谐波反电势；
2）逆变器非线性。
2.1 永磁体谐波反电势
永磁同步电机的永磁谐波体反电势主要是低阶谐波，如3次、5次和7次谐波。然而，由于传统三相星形绕组永磁同步电机中的三阶谐波电压（3次、9次等）是零序分量，由于中性点隔离，零序分量电压而不会引起电流谐波[1][2]。因此，只绝大部分论文只会考虑了5次和7次永磁谐波体反电势。
例如，这是我使用的PMSM的相反电势波形（注意不是线反电势，线反电势里面看不到三次谐波的）及其FFT分析结果。从下图的结果可以看出，我使用的PMSM的谐波反电势里，三次谐波含量最大（13.43%），五次谐波含量第二（1.43%），其余谐波成分均可忽略不计了。
再例如，这是文献[1]使用的PMSM的相反电势波形及其FFT分析结果。从下图的结果可以看出，我使用的PMSM的谐波反电势里，五次谐波含量最大（5.4%），三次谐波含量第二（5.2%），七次谐波含量第三（1.5%），九次谐波含量第四（0.9%），其余谐波含量均可以忽略不计。
从上述两台PMSM的永磁体谐波反电势的FFT分析来看，不考虑三次、九次这里零序分量的话，其实只考虑永磁体谐波反电势的五次、七次谐波即可。
2.2逆变器非线性
根据参考文献[2]，如果将逆变器非线性造成的电压损失等效为方波脉冲，逆变器非线性造成的A相电压畸变表达式如下：
可进一步对式子(5)用傅里叶级数进行分解，可得：
B、C相同理：
从式子(7)可以看出，逆变器非线性会产生3、5、7、9、11、13、15等奇数次谐波。
但值得注意的是，谐波次数越低，对应的谐波幅值就越大。即逆变器非线性产生的3次谐波电压的幅值 > 逆变器非线性产生的5次谐波电压的幅值 > 逆变器非线性产生的7次谐波电压的幅值……
同样的，由于不考虑三次、九次谐波电压，同时逆变器非线性产生的十一次、十三次谐波电压幅值相对较小，那我们主要考虑逆变器非线性产生的五次、七次谐波电压即可。
3.电机的阻抗
电机阻抗的表达式如下：
Rs
是电机的电阻；Ls
是电机的电感。fe
为电流的频率。从这个表达式可以看出，电流频率越高，那么阻抗Z越大。在交流电压幅值相同的情况下，交流电压频率越高，对应的阻抗越大，那么这个频率的谐波电流幅值也就越小。
这个完全可以做个仿真进行验证。仿真中设置阻感性负载的电阻为1欧姆，电感为5mH。两个交流电压的幅值都设置为1V，左边交流电压的频率为50Hz，右边为100Hz。
从波形图可以看出，频率为100Hz的交流电压产生的交流电流的幅值更小。
由此也可以说明，我们主要考虑PMSM的一些低次谐波电流即可，即五次、七次谐波电流。
4.为什么相电流五、七次谐波电流会在dq基波旋转坐标系构成六次谐波电流？
最朴素的方法就是去手动推导，可参考文献[3]：
但我个人还是更倾向于参考文献[2]的表达，直接从频谱图来看。
综上所述，相电流的五、七次谐波电流在dq基波旋转坐标系表现为六倍频。
5.参考文献
[1] W Z. Lyu, L. Wu and P. Song, "A Novel Harmonic Current Control Method for Torque Ripple Reduction of SPMSM Considering DC-Link Voltage Limit," IEEE Trans. on Power Electron., vol. 39, no. 2, pp. 2558-2568, Feb. 2024.
[2] L. Yan, Z. Zhu, B. Shao, J. Qi, Y. Ren, C. Gan, S. Brockway, C. Hilton "Arbitrary Current Harmonic Decomposition and Regulation for Permanent Magnet Synchronous Machines," IEEE Trans. on Ind. Electron., vol. 70, no. 5, pp. 4392-4404, May 2023.
[3] G. Liu, B. Chen, K. Wang and X. Song, "Selective Current Harmonic Suppression for High-Speed PMSM Based on High-Precision Harmonic Detection Method," IEEE Trans. on Ind. Inform., vol. 15, no. 6, pp. 3457-3468, June 2019.
