贝塞尔曲线原理

news2025/7/19 18:28:36

文章目录

  • 一、 低阶贝塞尔曲线
    • 1.一阶贝塞尔曲线
    • 2. 二阶贝塞尔曲线
    • 3. 三阶贝塞尔曲线

一、 低阶贝塞尔曲线

1.一阶贝塞尔曲线

如下图所示， P 0 ​ P_0​ P0​​, P 1 ​ P_1​ P1​​ 是平面中的两点，则 B ( t ) B ( t ) B(t) 代表平面中的一段线段。
在这里插入图片描述
考虑这样一条曲线方程
B ( t ) = P 0 ​ + ( P 1 ​ − P 0 ​ ) t = ( 1 − t ) P 0 ​ + t P 1 \begin{align} B(t)=P_0​+(P_1​−P_0​)t=(1−t)P_0​+tP_1 \end{align} B(t)=P0​​+(P1​​−P0​​)t=(1−t)P0​​+tP1​​​
一阶曲线很好理解， 就是根据 t t t来的线性插值， t t t的取值范围为 [ 0 , 1 ] [ 0 , 1 ] [0,1]。

python实现

# 保存动图时用，pip install celluloid
from celluloid import Camera 
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
P0=np.array([0,0])
P1=np.array([1,1])
fig=plt.figure(1)
camera = Camera(fig)
x =[]
y=[]
for t in np.arange(0,1,0.01):
    plt.plot([P0[0],P1[0]],[P0[1],P1[1]],'r')
    p1_t=(1-t)*P0+t*P1
    x.append(p1_t[0])
    y.append(p1_t[1])
    # plt.plot(x,y,c='b')
    plt.scatter(x,y,c='b')
    # plt.pause(0.001)
    camera.snap()
animation = camera.animate()
animation.save('一阶贝塞尔.gif')

matlab实现

from celluloid import Camera  # 保存动图时用，pip install celluloid
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
P0=np.array([0,0])
P1=np.array([1,1])
fig=plt.figure(1)
camera = Camera(fig)
x =[]
y=[]
for t in np.arange(0,1,0.01):
    plt.plot([P0[0],P1[0]],[P0[1],P1[1]],'r')
    p1_t=(1-t)*P0+t*P1
    x.append(p1_t[0])
    y.append(p1_t[1])
    # plt.plot(x,y,c='b')
    plt.scatter(x,y,c='b')
    # plt.pause(0.001)
    camera.snap()
animation = camera.animate()
animation.save('一阶贝塞尔.gif')

2. 二阶贝塞尔曲线

对于二阶贝塞尔曲线，需要3个控制点，假设分别为 P 0 P_0 P0​， P 1 P_1 P1​， P 2 P_2 P2​​。 P 0 P_0 P0​ 和 P 1 P_1 P1​ ​构成一阶 P 1 , 1 ​ ( t ) P_{1,1}​(t) P1,1​​(t)， P 1 P_1 P1​​和 P 2 P_2 P2​​​也构成一阶 P 1 , 2 ​ ( t ) P_{1,2}​(t) P1,2​​(t)，即：
{ P 1 , 1 ​ ( t ) = ( 1 − t ) P 0 ​ + t P 1 P 1 , 2 ​ ( t ) = ( 1 − t ) P 1 + t P 2 \begin{equation} \left\{ \begin{array}{} P_{1,1}​(t)=(1−t)P_0​+tP_1 \\ P_{1,2}​(t)=(1−t)P_1+tP_2 \\ \end{array} \right. \end{equation} {P1,1​​(t)=(1−t)P0​​+tP1​P1,2​​(t)=(1−t)P1​+tP2​​​​
在生成的两个一阶点 P 1 , 1 ​ ( t ) P_{1,1}​(t) P1,1​​(t)， P 1 , 2 ​ ( t ) P_{1,2}​(t) P1,2​​(t)基础上，可以生成二阶贝塞尔点 P 2 ​ ( t ) P_2​(t) P2​​(t):
P 2 ​ ( t ) = ( 1 − t ) P 1 , 1 ​ + t P 1 , 2 ​ = ( 1 − t ) 2 P 0 ​ + 2 t ( 1 − t ) P 1 ​ + t 2 P 2 \begin{align} P_2​(t)=(1−t)P_{1,1}​+tP_{1,2}​=(1−t)^2P_0​+2t(1−t)P_1​+t^2P_2 \end{align} P2​​(t)=(1−t)P1,1​​+tP1,2​​=(1−t)2P0​​+2t(1−t)P1​​+t2P2​​​
在这里插入图片描述
python实现

from celluloid import Camera  # 保存动图时用，pip install celluloid
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
P0 = np.array([0, 0])
P1 = np.array([1,1])
P2 = np.array([2, 1])
fig = plt.figure(2)
camera = Camera(fig)

x_2 = []
y_2 = []
for t in np.arange(0, 1, 0.01):
    plt.cla()
    plt.plot([P0[0], P1[0]], [P0[1], P1[1]], 'k')
    plt.plot([P1[0], P2[0]], [P1[1], P2[1]], 'k')
    p11_t = (1-t)*P0+t*P1
    p12_t = (1-t)*P1+t*P2
    p2_t = (1-t)*p11_t+t*p12_t
    
    x_2.append(p2_t[0])
    y_2.append(p2_t[1])
    plt.scatter(x_2, y_2, c='r')
    plt.plot([p11_t[0],p12_t[0]],[p11_t[1],p12_t[1]],'g')
    plt.title("t="+str(t))
    plt.pause(0.001)
#     camera.snap()
# animation = camera.animate()
# animation.save('2阶贝塞尔.gif')

matlab实现

clc;
clear;
close all;
%% 二次贝塞尔曲线
P0=[0,0];
P1=[1,1];
P2=[2,1];
P=[P0;
    P1;
    P2];
figure(2);
plot(P(:,1),P(:,2),'k');
MakeGif('二次贝塞尔曲线.gif',1);
hold on
 
scatter(P(:,1),P(:,2),200,'.b');
for t=0:0.01:1
    P_t_1=(1-t) * P0 + t * P1;
    P_t_2=(1-t) * P1 + t * P2;
    P_t_3=(1-t) * P_t_1 + t * P_t_2;
    
    m1=scatter(P_t_1(1),P_t_1(2),300,'g');
    m2=scatter(P_t_2(1),P_t_2(2),300,'g');
    
    m3=plot([P_t_1(1),P_t_2(1)],[P_t_1(2),P_t_2(2)],'g','linewidth',2);
    
    scatter(P_t_3(1),P_t_3(2),300,'.r');  
    stringName = "二次贝塞尔曲线：t="+num2str(t);
    title(stringName);
    MakeGif('二次贝塞尔曲线.gif',t*100+1);
    delete(m1);
    delete(m2);
    delete(m3);
end

3. 三阶贝塞尔曲线

在这里插入图片描述
三阶贝塞尔曲线有4个控制点，假设分别为 P 0 P_0 P0​， P 1 P_1 P1​， P 2 P_2 P2​， P 3 P_3 P3​。 P 0 P_0 P0​ 和 P 1 P_1 P1​， P 1 P_1 P1​ 和 P 2 P_2 P2​ ， P 2 P_2 P2​ 和 P 3 P_3 P3​ 分别构成一阶 P 1 , 1 ​ ( t ) P_{1,1}​(t) P1,1​​(t)， P 1 , 2 ​ ( t ) P_{1,2}​(t) P1,2​​(t)， P 1 , 3 ​ ( t ) P_{1,3}​(t) P1,3​​(t)，即：
{ P 1 , 1 ​ ( t ) = ( 1 − t ) P 0 ​ + t P 1 P 1 , 2 ​ ( t ) = ( 1 − t ) P 1 + t P 2 P 1 , 3 ​ ( t ) = ( 1 − t ) P 2 + t P 3 \begin{equation} \left\{ \begin{array}{} P_{1,1}​(t)=(1−t)P_0​+tP_1 \\ P_{1,2}​(t)=(1−t)P_1+tP_2 \\ P_{1,3}​(t)=(1−t)P_2+tP_3 \\ \end{array} \right. \end{equation} ⎩ ⎨ ⎧​P1,1​​(t)=(1−t)P0​​+tP1​P1,2​​(t)=(1−t)P1​+tP2​P1,3​​(t)=(1−t)P2​+tP3​​​​
在生成的三个一阶点 P 1 , 1 ​ ( t ) P_{1,1}​(t) P1,1​​(t)， P 1 , 2 ​ ( t ) P_{1,2}​(t) P1,2​​(t)， P 1 , 3 ​ ( t ) P_{1,3}​(t) P1,3​​(t)基础上，可以生成两个二阶贝塞尔点 P 2 , 1 ​ ( t ) P_{2,1}​(t) P2,1​​(t)， P 2 , 2 ​ ( t ) P_{2,2}​(t) P2,2​​(t)：
{ P 2 , 1 ​ ( t ) = ( 1 − t ) P 1 , 1 ​ + t P 1 , 2 ​ P 2 , 2 ​ ( t ) = ( 1 − t ) P 1 , 2 ​ + t P 1 , 3 ​ \begin{equation} \left\{ \begin{array}{} P_{2,1}​(t)=(1−t)P_{1,1}​+tP_{1,2}​ \\ P_{2,2}​(t)=(1−t)P_{1,2}​+tP_{1,3}​\\ \end{array} \right. \end{equation} {P2,1​​(t)=(1−t)P1,1​​+tP1,2​​P2,2​​(t)=(1−t)P1,2​​+tP1,3​​​​​
在生成的两个二阶点 P 2 , 1 ​ ( t ) P_{2,1}​(t) P2,1​​(t)， P 2 , 2 ​ ( t ) P_{2,2}​(t) P2,2​​(t)基础上，可以生成三阶贝塞尔点 P 3 ( t ) P_3(t) P3​(t):
P 3 ​ ( t ) = ( 1 − t ) P 2 , 1 + t P 2 , 2 ​ = ( 1 − t ) 3 P 0 ​ + 3 t ( 1 − t ) 2 P 1 ​ + 3 t 2 ( 1 − t ) P 2 + t 3 P 3 \begin{align} P_3​(t)=(1−t)P_{2,1}+tP_{2,2}​=(1−t)^3P_0​+3t(1−t)^2P_1​+3t^2(1-t)P_2+t^3P_3 \end{align} P3​​(t)=(1−t)P2,1​+tP2,2​​=(1−t)3P0​​+3t(1−t)2P1​​+3t2(1−t)P2​+t3P3​​​

python实现

from celluloid import Camera  # 保存动图时用，pip install celluloid
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
	
P0 = np.array([0, 0])
P1 = np.array([1, 1])
P2 = np.array([2, 1])
P3 = np.array([3, 0])
fig = plt.figure(3)
camera = Camera(fig)

x_2 = []
y_2 = []
for t in np.arange(0, 1, 0.01):
    plt.cla()
    plt.plot([P0[0], P1[0]], [P0[1], P1[1]], 'k')
    plt.plot([P1[0], P2[0]], [P1[1], P2[1]], 'k')
    plt.plot([P2[0], P3[0]], [P2[1], P3[1]], 'k')
    p11_t = (1-t)*P0+t*P1
    p12_t = (1-t)*P1+t*P2
    p13_t = (1-t)*P2+t*P3
    p21_t = (1-t)*p11_t+t*p12_t
    p22_t = (1-t)*p12_t+t*p13_t
    p3_t = (1-t)*p21_t+t*p22_t

    x_2.append(p3_t[0])
    y_2.append(p3_t[1])
    plt.scatter(x_2, y_2, c='r')

    plt.plot([p11_t[0], p12_t[0]], [p11_t[1], p12_t[1]], 'b')
    plt.plot([p12_t[0], p13_t[0]], [p12_t[1], p13_t[1]], 'b')

    plt.plot([p21_t[0], p22_t[0]], [p21_t[1], p22_t[1]], 'r')
    plt.title("t="+str(t))
    plt.pause(0.001)
#     camera.snap()
# animation = camera.animate()
# animation.save('3阶贝塞尔.gif')

matlab实现

clc;
clear;
close all;
P0=[0,0];
P1=[1,1];
P2=[2,1];
P3=[3,0];
P=[P0;
    P1;
    P2;
    P3];
figure(3);
plot(P(:,1),P(:,2),'k');
MakeGif('三次贝塞尔曲线.gif',1);
hold on
scatter(P(:,1),P(:,2),200,'.b');
 
for t=0:0.01:1
    P_t_1=(1-t) * P0 + t * P1;
    P_t_2=(1-t) * P1 + t * P2;
    P_t_3=(1-t) * P2 + t * P3;
 ss
    P_t_4=(1-t) * P_t_1 + t * P_t_2;
    P_t_5=(1-t) * P_t_2 + t * P_t_3;
    
    P_t_6=(1-t) * P_t_4 + t * P_t_5;
    
    m1=scatter(P_t_1(1),P_t_1(2),300,'g');
    m2=scatter(P_t_2(1),P_t_2(2),300,'g');
    m3=scatter(P_t_3(1),P_t_3(2),300,'g');
    
    m4=scatter(P_t_4(1),P_t_4(2),300,'m');
    m5=scatter(P_t_5(1),P_t_5(2),300,'m');
    
    m6=plot([P_t_1(1),P_t_2(1),P_t_3(1)],[P_t_1(2),P_t_2(2),P_t_3(2)],'g','linewidth',2);
    m7=plot([P_t_4(1),P_t_5(1)],[P_t_4(2),P_t_5(2)],'m','linewidth',2);
    
    scatter(P_t_6(1),P_t_6(2),300,'.r');  
    
    stringName = "三次贝塞尔曲线：t="+num2str(t);
    title(stringName);
    MakeGif('三次贝塞尔曲线.gif',t*100+1);
    delete(m1);
    delete(m2);
    delete(m3);
    delete(m4);
    delete(m5);
    delete(m6);
    delete(m7);
end

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