数据结构*优先级队列(堆)

什么是优先级队列(堆)

优先级队列一般通过堆（Heap）这种数据结构来实现，堆是一种特殊的完全二叉树，其每个节点都满足堆的性质。如下图所示就是一个堆：
在这里插入图片描述

堆的存储方式

由于堆是一棵完全二叉树，所以也满足二叉树的性质：
1、一颗非空二叉树的第i层上最多有2^(i-1)个结点。
2、一颗深度为k的二叉树，其树的最大结点为2^k-1
3、由第二条性质推出，具有n个结点的完全二叉树的深度k = log(n+1) [以2为底的log] 向上取整。
4、对于任意一颗二叉树，其叶子结点为n0(结点度为0)，度为2的结点个数为n2，则n0 = n2 + 1。
5、对于具有n个结点的完全二叉树，按照从上到下、从左到右的顺序从0开始编号，则对于序号i的结点：
左孩子结点下标为2i + 1，当2i + 1 > n 时，就不存在左孩子结点。
右孩子结点下标为2i + 2，当2i + 2 > n 时，就不存在右孩子结点。
其父亲结点的下标为(i - 1) / 2。i == 0时，其结点为根节点，没有父亲结点。
当元素存入数组后，需要利用性质5来完成一些功能，完成对数组的访问。

最大堆或最小堆

对于一个完全二叉树来说：每个节点的值都大于或等于其子节点的值，堆顶元素是整个堆中的最大值，被称为最大堆；
在这里插入图片描述
每个节点的值都小于或等于其子节点的值，堆顶元素就是堆中的最小值，被称为最小堆。

对于最大堆或者最小堆来说，数组是最常用的实现方式。数组存储堆中的值是以层序遍历的方式来存储的。

最大堆或最小堆的创建

根据数组来创建最大堆或最小堆。以下图为例：
在这里插入图片描述
下面代码实现了最大堆

public void createHeapMAX() {
    //需要对每棵子树进行调整，调整方式是一样的。
    //parent是从最后一个孩子的父亲结点开始的，每次parent--来访问其他的树。
    //当parent为根节点调整完了，说明完成了最大堆的创建
    for (int parent = ((useSize - 1) - 1) / 2; parent >= 0; parent--) {
        //每个初始parent的树的向下调整
        siftDownMAX(parent,useSize);
        //传useSize的目的是为了，在parent和child交换后，parent需要到child位置在判断下一个结点是否满足最大堆，
        //对应的每棵树结束的标志是child下标超过useSize
    }
}
/**
 * 向下调整，让节点的值不断向下调整
 * @param parent
 * @param useSize
 */
private void siftDownMAX(int parent,int useSize){
    //1、定义child下标
    int child = parent * 2 + 1;
    while(child < useSize) {
        //2、比较左右子树的值，child谁是最大值
        if(child + 1 < useSize && elem[child + 1] > elem[child]) {
            child++;
        }
        //3、判断是否交换
        if(elem[parent] < elem[child]) {
            swap(parent,child);
            //当前父节点变为子节点，继续检查其新的子节点(检查子树的子树)
            parent = child;
            child = parent * 2 + 1;
        }else {
            return;
            //如果当前父节点已经大于其子节点，那么其子树必然已经是合法的最大堆（因为构建过程是自底向上的）
        }
    }
}
private void swap(int parent,int child){
    int temp = elem[parent];
    elem[parent] = elem[child];
    elem[child] = temp;
}

在这里插入图片描述
和上述逻辑差不多，就是更改了比较符号。下面是实现最小堆的代码：

public void createHeapMIN() {
    for (int parent = ((useSize - 1) - 1) / 2; parent >= 0; parent--) {
        siftDownMIN(parent,useSize);
    }
}
private void siftDownMIN(int parent,int useSize){
    int child = parent * 2 + 1;
    while(child < useSize) {
        if(child + 1 < useSize && elem[child + 1] < elem[child]) {
            child++;
        }
        if(elem[parent] > elem[child]) {
            swap(parent,child);
            parent = child;
            child = parent * 2 + 1;
        }else {
            return;
        }
    }
}
private void swap(int parent,int child){
    int temp = elem[parent];
    elem[parent] = elem[child];
    elem[child] = temp;
}

在这里插入图片描述
上述代码的总时间复杂度为O(N)。单个siftDownMAX和siftDownMIN的时间复杂度为O(logN)

堆的删除与插入

堆的删除

在堆中删除一定是删除堆顶的元素，也就是根节点。
实现的方法是：
1、将最后一个叶子节点和根节点交换。
2、此时再删除最后一个叶子节点(原根节点)。
3、进行向下调整

public int poll() {
    if(isEmpty()) {
        return -1;
    }
    swap(0,useSize - 1);
    useSize--;
    siftDownMAX(0,useSize);
    return elem[0];
}

堆的插入

实现的方法是：
1、将添加的数据放在最底层。
2、在进行向上调整

public void offer(int value) {
    if(isFull()){
        elem = Arrays.copyOf(elem,2*elem.length);
    }
    elem[useSize] = value;
    useSize++;
    int child = useSize - 1;
    siftUp(child);
}
/**
 * 实现的是最大堆
 * @param child
 */
private void siftUp(int child){
    int parent = (child - 1) / 2;
    while (child > 0) {
        if(elem[parent] < elem[child]) {
            swap(parent,child);
            child = parent;//向上调整
            parent = (child - 1) / 2;
        }else {
            break;
        }
    }
}
private void swap(int parent,int child){
    int temp = elem[parent];
    elem[parent] = elem[child];
    elem[child] = temp;
}

上述代码的总时间复杂度为O(N*logN)。单个siftUp的时间复杂度为O(logN)。
显然较上面创建的最大堆的时间复杂度大一些。

获取堆顶元素

实现的方法是：
直接返回数组首元素即可

public int peek() {
    if(isEmpty()) {
        return -1;
    }
    return elem[0];
}
private boolean isEmpty() {
    return useSize == 0;
}

堆的集合类

对于堆的集合类有两种PriorityQueue 和 PriorityBlockingQueue。PriorityBlockingQueue属于线程安全的，PriorityQueue属于线程不安全的。
我们先学习PriorityQueue类
1、由于在堆的实现过程中需要进行比较，所以放置的元素一定要能比较。像对象就不能进行比较，也就不能成为元素。
2、不能传入null
3、可以任意插入多个元素，类有自动扩容的机制

public class TestPriorityQueue {
    public static void main(String[] args) {
        PriorityQueue<Student> priorityQueue = new PriorityQueue<>();
        PriorityQueue<Integer> priorityQueueAge = new PriorityQueue<>();
        Student student = new student();
        priorityQueueAge.offer(Student.age);//没有错误，比较的是int类型
        priorityQueue.offer(new Student());//会抛出ClassCastException异常
        priorityQueue.offer(null);//会抛出NullPointerException异常
    }
}
class Student {
    public int age;
}

构造方法

构造方法	功能
PriorityQueue()	创建一个空的优先级队列，初始容量为11
PriorityQueue(int initialCapacity)	初始优先级队列的容量，但不能传小于1的数字
PriorityQueue(Collection<? extends E> c)	传入一个集合类来创建堆
PriorityQueue(Comparator<? super E> comparator)	传入比较器，按照比较器的方法完成堆的排序
PriorityQueue(int initialCapacity,Comparator<? super E> comparator)	传入比较器和初始容量

public static void main(String[] args) {
    PriorityQueue<Integer> priorityQueue = new PriorityQueue<>();
    priorityQueue.offer(10);
    priorityQueue.offer(3);
    priorityQueue.offer(4);
    System.out.println(priorityQueue.peek());//输出：3
}

//传入一个集合类
public static void main(String[] args) {
    ArrayList<Integer> arrayList = new ArrayList<>();
    arrayList.add(10);
    arrayList.add(3);
    arrayList.add(4);
    PriorityQueue<Integer> priorityQueue = new PriorityQueue<>(arrayList);
    System.out.println(priorityQueue.peek());//输出：3
}

通过上述代码和PriorityQueue类的源码，发现，当没有传入比较器时，堆默认是按最小堆来排的。要实现最大堆就需要传入一个比较器。
1、通过实现Comparator接口（完整类），来创建一个比较器

class Compare implements Comparator<Integer> {
    @Override
    public int compare(Integer o1, Integer o2) {
        return o2 - o1;//此时是按最大堆来建立的
        //return o2.compareTo(o1);//此时也是按最大堆来建立的//Integer类继承了Comparable接口
        //return o1 - o2;就是按最小堆来建立的
    }
}

public static void main(String[] args) {
    Compare compare = new Compare();
    PriorityQueue<Integer> priorityQueue = new PriorityQueue<>(compare);
    priorityQueue.offer(10);
    priorityQueue.offer(3);
    priorityQueue.offer(4);
    System.out.println(priorityQueue.peek());//输出：10
}

2、使用匿名内部类，在需要比较器的地方直接创建匿名内部类，无需定义独立的类。

public static void main(String[] args) {
    PriorityQueue<Integer> priorityQueue = new PriorityQueue<>(new Comparator<Integer>() {
        @Override
        public int compare(Integer o1, Integer o2) {
            return o2 - o1;
        }
    });
    priorityQueue.offer(10);
    priorityQueue.offer(3);
    priorityQueue.offer(4);
    System.out.println(priorityQueue.peek());//输出：10
}

常用方法

方法	功能
boolean offer(E e)	添加数据
E peek()	获取堆顶的元素
E poll()	删除优先级最高的元素并返回
int size()	获取有效元素个数
void clear()	清空元素
boolean isEmpty()	判断是否为空

在官方中插入元素（offer()）的时间复杂度为O(logN)，用的是向上调整，创建堆（批量插入N个元素）的时间复杂度为O(N*logN)。使用构造方法传入集合类时，时间复杂度为O(N)，用的是向下调整。
删除堆顶的元素（poll()）的时间复杂度为O(logN)，用的是向下调整。

关于堆的一些问题

top-K问题

代码展示：

代码一：

/**
 * 总时间复杂度为：O((N+k)*logN)
 * @param array
 * @param k
 * @return
 */
public int[] topK1(int[] array,int k) {
    int[] ret = new int[k];
    if(array == null || k <= 0) {
        return ret;
    }
    PriorityQueue<Integer> priorityQueue = new PriorityQueue<>(array.length);
    //将所有元素放到堆中，offer方法自动按照最小堆排序
    for (int i = 0;i < array.length;i++) {
        priorityQueue.offer(array[i]);
    }
    //将堆中前三个元素放到ret数组中。
    for (int i = 0;i < k;i++) {
        ret[i] = priorityQueue.poll();
    }
    return ret;
}

代码二：

/**
 * 总时间复杂度为：O(N*logK)
 * @param array
 * @param k
 * @return
 */
public int[] topK(int[] array,int k) {
    int[] ret = new int[k];
    if(array == null || k <= 0) {
        return ret;
    }
    //根据最大根创建优先级队列
    PriorityQueue<Integer> priorityQueue = new PriorityQueue<>(k, new Comparator<Integer>() {
        @Override
        public int compare(Integer o1, Integer o2) {
            return o2 - o1;
        }
    });
    //创建有K个元素的堆
    //时间复杂度为：O(K * logK)
    for (int i = 0; i < k; i++) {
        priorityQueue.offer(array[i]);
    }
    //遍历后面的数组元素
    //时间复杂度为：O((N-K) * logK)
    for (int i = k; i < array.length; i++) {
        //当数组元素大于堆顶的元素，说明这个元素不是前K个最小的元素
        if(array[i] < priorityQueue.peek()){
            priorityQueue.poll();
            priorityQueue.offer(array[i]);
        }
    }
    //将堆中的前k放到ret数组中
    //时间复杂度为：O(K * logK)   几乎可以忽略
    for (int i = 0; i < k; i++) {
        ret[i] = priorityQueue.poll();
    }
    return ret;
}

代码解释：

对于代码一来说，是将所有元素全部放到堆中，进行堆排。如果有大量数据，会导致有很多次进行调整，时间复杂度高，为O((N+k)logN)。
对于代码二来说，只是对前K个元素进行了堆排，降低了时间复杂度，为O(NlogK)。

堆排序

如果是按照从小到大来排序，是要创建最大堆，反之创建最小堆。
以从小到大来排序为例。当创建最大堆后，将堆顶的元素和最后一个元素交换，再对剩余元
素进行调整为最大堆。重复这操作，直到整个数组有序。

这里为什么不创建最小堆呢？

当创建的是最小堆时，需要再创建一个数组，用来存放最小堆的堆顶，再对剩余元
素进行调整为最小堆。这样相比于创建最大堆，其空间复杂就会大一些。

代码展示：

/**
 * 从小到大排序
 * 时间复杂度为：O(N*logN)
 * 空间复杂度为：O(1)
 * @param array
 */
public void heapSort(int[] array) {
    //先创建一个最大堆，时间复杂度为：O(N)
    for (int parent = ((array.length - 1) - 1) / 2; parent >= 0 ; parent--) {
        shiftDown(array,parent,array.length);
    }
    int end = array.length - 1;
    //进行排序，时间复杂度为：O(N*logN) <---- 有N次调整，每次调整的时间复杂度为：O(logN)
    while (end > 0) {
        swap(array,0,end);
        end--;
        shiftDown(array,0,end + 1);
    }
}
private void swap(int[] array,int a,int b) {
    int temp = array[a];
    array[a] = array[b];
    array[b] = temp;
}
private void shiftDown(int[] array ,int parent,int useSize) {
    int child = 2 * parent + 1;
    while (child < useSize) {
        if(child + 1 <useSize && array[child] < array[child + 1]) {
            child++;
        }
        if(array[parent] < array[child]) {
            swap(array,parent,child);
            parent = child;
            child = 2 * parent + 1;
        }else {
            break;
        }
    }
}