目录

一、问题分析

二、实现步骤

1）初始化种群

2）计算适应度

 3）选择操作

4）交叉操作

5）变异操作

三、求解结果

四、总结 

---

本文通过一个经典的旅行商问题，详细阐述在实际问题中如何运用遗传算法来进行分析求解。

一、问题分析

       旅行商问题抽象为数学描述为，在平面内有有限个点，寻找一条路径穿过所有点，使路径长度最短。这个问题描述很简单，其实想要求解也很简单，因为途径所有点的路径数量是有限的，我们可以采用穷举法计算每一条路径的距离值，然后得到最短路径。但是采用穷举法的可行性不高，当我们要途径几十个点时，所有路径的总数是n!，这是一个非常庞大的数字，穷举已经不现实。因此我们选择采用其他智能优化算法来求解该问题。

       那么应该如何选择计算方法呢？从上面的分析中我们已经知道，这是一个求解最优解问题，我们还知道这个问题的解是有限范围的，因此我们可以选择遗传算法来求解。下面我们将沿着遗传算法经典步骤，逐步详细说明如何用遗传算法来求解旅行商问题。

二、实现步骤

1）初始化种群

       在初始化种群前，我们首先应考虑如何根据实际问题来设计个体和种群。在旅行商问题中，个体也就是解表征的是一组城市的排列结果，这个解不是单个的数值，而是一个组合。如果我们将每个城市依次编号，那么这个解就是一个N维的向量，向量元素为1到N之间的整数，其中N为城市总数。这个向量非常类似于一个群体中的个体，它已经由基因（城市编号）组成。因此我们可以直接使用这个向量作为群体的个体。初始化群体的代码如下。

       我们定义种群个体数量为100，最大迭代代数为1000，初始种群的大小就是一个100×31（n_cities）的矩阵，n_cities表示个体的基因数，也是城市数量。第一个for循环完成了初始种群的赋值。

    % 遗传算法参数
    population_size = 100;    % 种群大小
    max_generations = 1000;    % 最大迭代次数
    crossover_rate = 0.8;      % 交叉概率
    mutation_rate = 0.1;       % 变异概率
    tournament_size = 5;       % 锦标赛选择大小
    elite_num = 2;             % 精英保留数目
    
    % 初始化种群
    population = zeros(population_size, n_cities);
    for i = 1:population_size
        population(i,:) = randperm(n_cities);
    end

2）计算适应度

       在旅行商问题中，我们的目标值只有一个，就是路径的距离最短。在得到一个种群之后，我们可以直接计算出种群中每个个体，即每种路径的距离值。显然，距离值越小，适应度越大。因此，可以使用距离的导数来表征个体适应度的大小。具体实现代码如下。distances为已经计算好的两两城市之间的距离，此处直接提出相加即可。

        % 计算适应度
        fitness = zeros(population_size, 1);
        for i = 1:population_size
            fitness(i) = 1 / calculate_total_distance(population(i,:), distances);
        end

% 计算路径总长度
function total_dist = calculate_total_distance(path, distances)
    n = length(path);
    total_dist = 0;
    for i = 1:n-1
        total_dist = total_dist + distances(path(i), path(i+1));
    end
    total_dist = total_dist + distances(path(end), path(1));
end

 3）选择操作

       此处采用锦标赛法选择需要继承的父代。该方法的思想是随机从种群中抽取部分个体，然后将这部分个体中适应度最高的个体传递给下一代。此处直接选择两个父代的个体，以便直接进行后续的交叉和变异操作。

% 锦标赛选择父代
parent1 = tournament_selection(population, fitness, tournament_size);
parent2 = tournament_selection(population, fitness, tournament_size);

% 锦标赛选择
function selected = tournament_selection(population, fitness, tournament_size)
    candidates = randperm(size(population,1), tournament_size);
    [~, idx] = max(fitness(candidates));
    selected = population(candidates(idx), :);
end

4）交叉操作

        直接对选出的两个父代个体执行交叉操作。此处采用的交叉方法为顺序交叉法，其算法思想如下图所示。首先随机得到一个交叉区域，将个体P1中该区域的元素赋给新个体child1的对应区域位置，然后将P2以交叉区域后边界分为前后两段，并将前后两段互换位置得到一个新的片段，当然这个片段中删除了交叉区域中已经存在的元素，然后再将这个片段分别赋给child1的两端，不要覆盖交叉区域。这样就得到了交叉后的第一个新个体，然后交换P1和P2角色，执行上述操作，得到child2第二个个体，这样交叉操作就完成了。

% 交叉
if rand < crossover_rate
    [child1, child2] = ox_crossover(parent1, parent2);
else
    child1 = parent1;
    child2 = parent2;
end

% 顺序交叉 (OX)
function [child1, child2] = ox_crossover(parent1, parent2)
    n = length(parent1);
    points = sort(randperm(n, 2));
    start = points(1);
    end_ = points(2);
    % 子代1
    segment1 = parent1(start:end_);
    remaining = [];
    for i = [end_+1:n, 1:end_]
        city = parent2(i);
        if ~ismember(city, segment1)
            remaining = [remaining, city];
        end
    end
    child1 = zeros(1, n);
    child1(start:end_) = segment1;
    child1([1:start-1, end_+1:n]) = remaining(1:n - (end_ - start + 1));  
    % 子代2
    segment2 = parent2(start:end_);
    remaining = [];
    for i = [end_+1:n, 1:end_]
        city = parent1(i);
        if ~ismember(city, segment2)
            remaining = [remaining, city];
        end
    end
    child2 = zeros(1, n);
    child2(start:end_) = segment2;
    child2([1:start-1, end_+1:n]) = remaining(1:n - (end_ - start + 1));
end

5）变异操作

       此处变异使用简单的交换操作，即交换个体中任意两个位置的元素。具体实现代码如下，首先随机产生一个随机数，判断是否满足可变异概率，然后在随机生成两个位置，将这两个位置的元素进行交换即可。

% 变异
child1 = mutate(child1, mutation_rate);
child2 = mutate(child2, mutation_rate);

% 变异（交换）
function mutated = mutate(individual, mutation_rate)
    mutated = individual;
    if rand < mutation_rate
        n = length(individual);
        pos = randperm(n, 2);
        mutated(pos(1)) = individual(pos(2));
        mutated(pos(2)) = individual(pos(1));
    end
end

三、求解结果

程序完整实现代码在这里。最终求解结果如下图所示，得到的最优距离为15598。

四、总结 

       通过遗传算法求解旅行商问题流程可知，遗传算法的各项具体操作实现方法不是固定不变的，需要根据实际问题分析处理。即使使用本文提供的实际程序计算，每次迭代计算得到的结果也是不一样的。旅行商问题本质上是一个排列问题，且越接近最优解时，解相邻元素的排列顺序越接近。根据这一特性，我们在进行交叉、变异产生新个体时就需要设计合适的算法实现，减小对排列顺序大幅度调整的概率。因此，我们以非常小的概率控制变异发生，在交叉过程中使用分段交叉，尽量保持相邻元素的排列顺序。总之，在遗传算法产生新的子代群体过程中，我们应尽量避免产生大量与上一代差异较大的个体，当然也尽可能保留少量差异大的个体，使种群始终向最优解方向缓慢进化，避免算法不收敛或陷入局部最优解中。