洛谷P2241 统计方形（数据加强版）题解

题目描述

给定一个 $n\times m$ 的方格棋盘，要求统计其中包含的正方形数量和长方形数量（不包含正方形）。输入为两个正整数 $n$ 和 $m$，输出两个整数分别表示正方形和长方形的数量。

输入输出样例

输入：

2 3

输出：

8 10

解题思路

方法一：枚举右下角坐标

核心思想：固定右下角坐标 $(i,j)$，统计以该点为右下角的正方形和矩形数量。

1. 正方形数量：

   • 以 $(i,j)$ 为右下角的正方形边长最大为 $\min (i,j)$。
   • 例如，当 $i=2,j=3$ 时，最大边长为 $2$，可形成 $2$ 个正方形（边长为 $1$ 和 $2$）。

2. 矩形数量：

   • 以 $(i,j)$ 为右下角的矩形数量为 $i\times j$（长为 $i$，宽为 $j$ 的矩形）。

3. 累加结果：

   • 遍历所有右下角坐标 $(i,j)$，累加正方形和矩形数量。
   • 长方形数量 = 矩形总数 - 正方形总数。

代码实现：

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

int main() {
    long long n, m;
    cin >> n >> m;
    long long square = 0, rectangle = 0;
    
    for (int i = 1; i <= n; ++i) {
        for (int j = 1; j <= m; ++j) {
            square += min(i, j);          // 累加正方形
            rectangle += i * j;           // 累加矩形
        }
    }
    
    cout << square << " " << rectangle - square << endl;
    return 0;
}

方法二：数学公式法

核心思想：通过数学公式直接计算正方形和矩形总数。

1. 正方形总数：

   • 边长为 $k$ 的正方形数量为 $(n-k+1)\times (m-k+1)$。
   • 遍历 $k$ 从 $1$ 到 $\min (n,m)$，累加所有可能边长的正方形数量：
     $$\text{square\_total}=\sum _{k=1}^{\min (n,m)}(n-k+1)(m-k+1)$$

2. 矩形总数：

   • 从 $n+1$ 条横线中选 $2$ 条，从 $m+1$ 条竖线中选 $2$ 条，组合数为：
     $$\text{rectangle\_total}=\frac{n(n+1)}{2}\times \frac{m(m+1)}{2}$$

3. 长方形数量：

   • 长方形数量 = 矩形总数 - 正方形总数。

代码实现：

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

int main() {
    long long n, m;
    cin >> n >> m;
    long long square_total = 0, rectangle_total;
    
    // 计算正方形总数
    for (long long k = 1; k <= min(n, m); ++k) {
        square_total += (n - k + 1) * (m - k + 1);
    }
    
    // 计算矩形总数
    rectangle_total = (n * (n + 1) / 2) * (m * (m + 1) / 2);
    
    cout << square_total << " " << rectangle_total - square_total << endl;
    return 0;
}

复杂度分析

• 枚举法：时间复杂度为 $O(n\times m)$，适用于 $n,m\le 5000$ 的数据范围。
• 数学公式法：时间复杂度为 $O(\min (n,m))$，效率更高，适合处理更大规模的数据。

注意事项

1. 数据类型：由于结果可能非常大，需使用 long long 类型防止溢出。
2. 输入范围：题目中 $n$ 和 $m$ 的范围为 $1\le n,m\le 5000$，需确保代码能处理大数运算。

总结

本题可通过枚举法或数学公式法解决。枚举法直观易懂，适合初学者；数学公式法效率更高，适合处理大规模数据。实际编码中可根据需求选择合适的方法。