随机事件及其概率

加法公式

推三个的时候ABC，夹逼准则

减法准则

除法公式

相互独立定义

两种分析 两个解法

古典概型求概率（排列组合）

分步相乘、分类相加

全概率公式和贝叶斯公式

两阶段问题

第一个小概率*A在小概率的概率。。。累计

分子*反过来/全概率

求谁把谁设为A

例题

看到：已知、条件下 用条件概率

确定A的条件下，求某一个小概率，用贝叶斯

求A 用全概率公式

伯努利概型

一维随机变量及其分布

离散型求分布律（表格）

关乎顺序用A

常见离散分布 求概率

如二项分布

连续性随机变量（RV）相关计算

分布函数F（x）求导，得到密度f（x）

已知密度f（x），求区间概率P，定积分（导回去）。或者用分布函数区间前后减去

概率密度为相同值的情况下，可以合并条件为其他

例题

已知f求常数、F

求K——规范性

不定积分（导回去），别忘记常数

不定积分！！！别忘记常数了

三个任意常数的情况

密度f有其他的区域条件

——在分段点处连续——左极限=右极限

二、一维随机变量

U均匀分布

求子区间的概率密度，用长度之比即可

N正态分布_标准化

标准化，使得呈现y轴对称，括号右边，越小越尖

N（0,1）标准正态分布，和y轴对称

例题

求概率:1.画图即得到  2.利用公式法，转化为标准正态分布，因为要求P（x<0）,标准化，使得为（-2），题目中2-4，标准化后为2，0，根据正反相加为1，即得相反数

泊松分布

二项式和泊松定理可以互相转化

离散型 函数分布

分布律——先求取值，再求概率

连续型函数分布（不懂）！！

y的函数两个分段点，分三段来考虑；1个就分2段

分布函数定义：X随机变量<x自变量

求出密度函数—代入所求函数，按照分段点，把x划出来，定积分，求得区域分布函数

注意 分母不为0

二维随机变量及其分布

二维离散型 分布

联合分布律是表格，边缘分布律行行列列相加

边缘分布律

别把X Y搞混了

条件分布律

不可以直接在表格中摘出来，用符合的概率/在那个条件下的整体的概率（例如在Y=1的条件下，就要把Y=1的概率全部加起来）

独立与否

看每行成不成比例

大题：联合概率 不等于 边缘概率的乘积——P（x,y）不等于P（x）*P（y）

二维 连续型！！必考最后一道

解题方法

求未知参数

已知f(x,y)，反求参数，用规范性——区域内的不定积分=1

注意函数区域D画对，这样积分上下限才是对的

二重积分：一个积分积完，结果直接代入到下一重积分内，化简即得

根据密度函数的分布，画出区域--得到积分上下限

求区域密度

在题目的基础上的新的小区域

区域要写成该题要求和题目的区域的交集，双重积分，就把f（x，y）带入再化开区域解

y的上下限，穿y——从下至上

求边缘密度函数

给对方定积分，就会把对方消掉

求概率值不能代0，但是函数可以为0，所以别漏掉

求x的边缘密度就竖着，y的就横着，

积分上下限：y从下到上。x从左到右

边缘密度的每一个区域都要重新求

条件密度（有比/）

=联合密度/边缘密度

独立与否

边缘密度相乘 ==联合密度

两个离散型 函数 分布律

两个连续函数 求密度函数（跳过一下）

随机变量的数字特征

数学期望、方差

U均匀分布、N正态分布、P泊松分布

D方差

不独立的情况下，拆开还要加上2倍的协方差

D=平方的期望-期望的平方

常数提出来要变成平方倍的

例题

离散型 协方差、相关系数

协方差=乘积的期望-期望的乘积

先求和再求协方差=先求协方差再求和

例题

连续型的 协方差、相关系数

独立可以推不相关，不相关不能推独立

先取值 再积分

E（XY）=取值（xy）*密度函数再二重积分

积分上下限 由无穷变为D区域

例题

若要求 平方的期望，把Y平方代入到期望的表达式进行积分即可

不相关是指没有线性关系

切比雪夫不等式求概率（跳过了）

假设检验

正态分布下均值

小概率对应的区间——拒绝域

s是样本标准差，没给就按下面公式算（比起标准差——把1/n-1放在了根号里面）

拒绝域——考试会给表，查数值

注意U检验时，是密度，而不是密度的平方

算出统计量，看在拒绝域嘛——在就不正常

正态下方差

s样本标准差