电科大离散数学-1-集合论基础

news2025/7/17 0:37:44

1.1 集合的初见

1.1.1 集合的定义

1.1.2 集合的表示方法

1.1.3 集合的基数

1.2 特殊集合与集合间关系

1.2.1 空集

1.2.2 全集

1.2.3 集合的相等关系

1.2.4 包含关系

1.2.5 幂集

1.3 集合的运算

1.3.1 并运算

1.3.2 交运算

1.3.3 补运算

1.3.4 差运算

1.3.5 对称差运算

1.3.6 扩展运算

1.4 运算定律及其证明

1.4.1 运算定律

1.4.2 基于文氏图的形象理解

1.4.3 集合相等的证明

1.5 可数集合与不可数集合

1.5.1 自然数集

1.5.2 等势

1.5.3 可数集合

1.5.4 不可数集合

1.1 集合的初见

1.1.1 集合的定义

A set is a group of objects. (simplest way)
By a set we mean any collection M into a whole of definite distinct objects m (which we called elements of M) of our perception or of our thought. (Cantor’s way)
集合是由指定范围内的满足给定条件的所有对象聚集在一起构成，每一个对象称为这个集合的元素。
外延公理 + 空集存在公理 + 无序对公理 + 并集公理 + 幂集公理 + 无穷公理 +替换公理 + 正则公理 + 选择公理。(ZFC 公理化集合论)

通常情况下

用带或不带下标的大写英文字母表示集合: A,B, C, · · · , A1,B1, C1, · · ·

用带或不带下标的小写英文字母表示元素: a, b, c, · · · , a1, b1, c1, · · ·

若 a 是集合 A 中的元素，则称 a属于A，记为 a ∈ A

若 a 不是集合 A 中的元素，则称 a不属于A，记为 a ∉A

1.1.2 集合的表示方法

枚举法：列出集合中的全部元素或者仅列出一部分元素，其余用省略号 (· · ·) 表示。
叙述法：通过刻画集合中元素所具备的某种性质或特性来表示一个集合 P = {x|P(x)}
文氏图：文氏图是利用平面上的点来做成对集合的图解方法。一般使用平面上的方形或圆形表示一个集合，而使用平面上的一个小圆点来表示集合的元素。

1.1.3 集合的基数

集合 A 中的元素个数称为集合的基数(base number)，记为 |A|
若一个集合的基数是有限的，称该集合为有限集(finite set)
若一个集合的基数是无限的，称该集合为无限集(infinite set)

1.2 特殊集合与集合间关系

1.2.1 空集

不含任何元素的集合叫做空集(empty set)，记作 ∅。空集是绝对唯一的。

注意：|∅| = 0 ，|{∅}| = 1

1.2.2 全集

针对一个具体范围，我们考虑的所有对象的集合叫做全集(universal set)，记作 U 或 E。在文氏图一般使用方形表示全集。全集是相对唯一的。

1.2.3 集合的相等关系

元素的基本特性

集合中的元素是无序的。{1, 2, 3, 4} 与 {2, 3, 1, 4} 相同
集合中的元素是不同的。{1, 2, 2, 3, 4, 3, 4, 2} 与 {1, 2, 3, 4} 相同

外延性原理

两个集合 A、 B 相等，当且仅当它们的元素完全相同，记为A = B

否则A和B不相等，记为A ≠ B

1.2.4 包含关系

包含的定义

设 A,B 是任意两个集合

如果 B 的每个元素都是 A 中的元素，则称 B 是 A 的子集，也称做B 被 A 包含或A 包含B，记作B ⊆ A，否则记作B ⊈A。
如果 B ⊆ A 并且 A≠ B，则称 B 是 A 的真子集，也称做B 被 A 真包含或A 真包含 B，记作B ⊂ A，否则记作B ̸⊄ A.
”⊆” 关系的数学语言描述为：B ⊆ A ⇔ 对∀x, 如果 x ∈ B, 则 x ∈ A

下面的文氏图:B ⊆ A

由子集定义可有

∅⊆ A
A ⊆ A

证明集合相等

设 A, B 为任意两个集合，则 A = B ⇔ A ⊆ B且B ⊆ A

n 元集的子集

1.2.5 幂集

幂集的定义

设A为任意集合，把A的所有不同子集构成的集合叫做A的幂集(power set), 记作P(A)，即

P(A) = {x|x ⊆ A}

显然有 x∈P(A) ⇔ x⊆A

注：幂集也叫做集族或集合的集合，对集族的研究在数学方面、知识库和表处理语言以及人工智能等方面都有十分重要的意义。

1.3 集合的运算

1.3.1 并运算

定义

设 A, B 是两个集合，则集合A与B的并集定义为：

A ∪ B = {x|x ∈ A 或 x ∈ B}

1.3.2 交运算

定义

设 A, B 是两个集合，则集合 A 与 B 的交集定义为：

A ∩ B = {x|x ∈ A 并且 x ∈ B}

1.3.3 补运算

设 U 是全集，则集合 A 的补集定义为：

Ā= {x|x ⊈A}

1.3.4 差运算

设 A, B 是两个集合，则集合 A 与 B 的差集定义为：

A − B = {x|x ∈ A 并且 x ⊈ B}

1.3.5 对称差运算

设 A, B 是两个集合，则集合 A 与 B 的对称差集定义为：

A ⊕ B = {x|(x ∈ A 并且 x ⊈B)或者(x⊈A 并且 x ∈ B)}

1.3.6 扩展运算

设 A1,A2, · · · , An 是任意 n 个集合，则这 n 个集合的并集是包含那些至少是这组集合中一个集合

成员的元素的集合，即

设 A1,A2, · · · , An 是任意 n 个集合，则这 n 个集合的交集是包含那些属于这组集合中所有集合成

员的元素的集合，即

1.4 运算定律及其证明

1.4.1 运算定律

运算定律

设 U 为全集，A, B, C 为任意集合。

A ∪ A = A, A ∩ A = A. (幂等律)
A ∪ B = B ∪ A, A ∩ B = B ∩ A. (交换律)
A ∪ (B ∪ C) = (A ∪ B) ∪ C, A ∩ (B ∩ C) = (A ∩ B) ∩ C. (结合律)
A ∪ ∅ = A, A ∩ U = A. (同一律)
A ∪ U = U, A ∩ ∅ = ∅. (零律)
A ∪ (B ∩ C) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C), A ∩ (B ∪ C) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C). (分配律)
A ∪ (A ∩ B) = A, A ∩ (A ∪ B) = A. (吸收律)
Ā ∩ A = ∅, Ā ∪ A = U. (矛盾律和排中律)
A的补集的补集= A. (双重否定律)
交之补等于补之并，并之补等于补之交(德摩根律)

1.4.2 基于文氏图的形象理解

A ∩ (B ∪ C)=(A ∩ B)∪(A ∩ C)

1.4.3 集合相等的证明

证明并之补等于补之交

1.5 可数集合与不可数集合

1.5.1 自然数集

定义 (皮亚诺公理)

1891 年, 意大利数学家皮亚诺公开发表了基于序数的自然数定义公理。这组公理包括：

0是自然数；
每个自然数 n 都有一个后继，这个后继也是一个自然数，记为 S(n)；
两个自然数相等当且仅当它们有相同的后继，即 m = n 当且仅当 S(m) = S(n)；
没有任何自然数的后继是 0；
(归纳公理) 若 φ 是关于一个自然数的预测，如果❶φ(0) 为真；❷当 φ(n) 为真，则有 φ(S(n)) 为真；则 φ(n) 对任意自然数 n 都成立。

定义 (冯 • 诺依曼的自然数定义)

20世纪初，集合成为数学的基本概念之后，冯 • 诺依曼基于基数，利用一个集合的序列来定义自然数：