1.2 极限的性质【极限】

1.2.1 唯一性

极限的唯一性

引入

1. 假设警察逮捕罪犯，把犯人追到了悬崖边上，那么犯人只能在悬崖边束手就擒，这个时候悬崖边是犯人逃跑的极限位置，别无去处，位置唯一。
   

2. 考试或比赛的时候都努力争取第一名，第一名是能够取得的最好的名次，第一名的名次是唯一的，不可能有另外的名次比第一名的成绩更靠前，也不可能两个不同的成绩都被评为第一名。

3. 绝对零度（英文：The Absolute Zero），是热力学的最低温度，热力学温标的单位是K（开尔文），绝对零度就是0K（约为-273.15℃或-459.67℉），绝对零度在现实中是无法达到的，只是理论的下限值，在此温度下，物体分子没有动能，在一个特定的物理状态下不可能同时存在两个不同的温度，即温度降低的极限值是唯一的。

唯一性

性质：如果数列或函数极限存在，那么极限唯一。

证明

反证法（数列与函数同理，以数列为例证明）

假设 { a n } \left\{a_{n}\right\} {an​} 是一个收敛数列，并且有两个极限$K$和 $\mathrm{L}$ ，那么根据极限的定义：

对任意$\epsilon >0$ , 存在 $N_1\in \mathbb{N},N_2\in \mathbb{N}$ , 使得 $n>N_1⟹\left|a_n-K\right|<\frac{\epsilon }{2},n>N_2⟹\mid a_n-L\mid <\frac{\epsilon }{2}$

现在取 N = max ⁡ { N 1 , N 2 } N=\max \left\{N_{1}, N_{2}\right\} N=max{N1​,N2​} , 则 $n>N⟹\left|a_n-K\right|<\frac{ϵ}{2}$ 并且 $\left|a_n-L\right|<\frac{ϵ}{2}$

根据三角不等式， $|K-L|\le \left|K-a_n\right|+\left|a_n-L\right|<\frac{\epsilon }{2}+\frac{\epsilon }{2}=\epsilon$

上式对于所有的 $\epsilon >0$ 都成立, 故 $|K-L|=0,K=L$

1.2.2 有界性

引入

假如一个人蹦极：

设地面的高度是$0$，跳台的高度是$H$，下落的时间变量是 $t$，从跳台到最低点的实际时间是$T$，从跳台上下落的距离是$s(t)$，显然$s(t)$的值不会超过跳台的高度$H$，否则就撞地上了，$s(t)$的取值范围是 $[0,H)$，这个取值范围$[0,H)$是可能的最大范围。实际运动到最低点下落的距离假设是$h$，即
$$\underset{t\to T}{\lim }s(t)=h<H$$
这里的$H$就是极限取值的上界。

有界性

极限的有界性

(数列) 如果数列 { x n } \left\{x_{n}\right\} {xn​}收敛, 那么数列 { x n } \left\{x_{n}\right\} {xn​}一定有界。

例如：数列$x_n=\frac{n+1}{n}$，数列极限为$1$，$x_n$的上界是$2$，下界是$1$。

注意 反之不成立, 反例为 $x_n=(-1{)}^n$。显然，该数列有界但不收敛，由此可得有界是数列收敛的必要条件而非充分条件，无界数列一定发散，但发散数列不一定无界。

(函数) 若$\underset{x\to x_0}{\lim }f(x)$ 存在, 则$f(x)$在$x_0$ 某去心邻域有界 (即局部有界)。

注意 反之不成立, 反例为$f(x)=\sin \frac{1}{x}$，该函数在$x=0$的去心邻域有界，但它在 $x=0$处的极限 $\underset{x\to 0}{\lim }\sin \frac{1}{x}$不存在.

综上：收敛必有界，有界未必收敛。

1.2.3 保号性

引入

通俗的讲，保号性就是数列项数$n$趋于无穷的过程中，或函数自变量在接近某一点时，数列项或函数值的正负号会变得和极限值的正负号一样。

定义

(数列) 设 $\lim x_n=A$.

1. 如果 $A>0$ (或 $A<0$ ), 则存在$N>0$, 当 $n>N$ 时, $x_n>0$(或 $x_n<0$) ;

2. 如果存在 $N>0$, 当$n>N$ 时, $x_n⩾0$(或 $x_n⩽0$ ), 则 $A⩾0$ (或 $A⩽0$ ).

(函数) 设 $\underset{x\to x_0}{\lim }f(x)=A$.

1. 如果 $A>0$ (或 $A<0$ ), 则存在 $\delta >0$, 当 $x\in \mathring{U}\left(x_0,\delta \right)$ 时, $f(x)>0$( 或 $f(x)<0$) .

2. 如果存在 $\delta >0$, 当 $x\in \stackrel{\circ }{U}\left(x_0,\delta \right)$时, $f(x)⩾0$ (或 $f(x)⩽0$ ), 那么 $A⩾0$ (或 $A⩽0$ ).

   如果取$f(x)>0$ (或 $f(x)<0$ ), 那么 $A⩾0$ (或 $A⩽0$ )此处依然取等。

注意

上述结论 1. 中是严格不等号 ($>$ 或 $<$，不包含 $=$) 。

如下图所示 $f(x)=\frac{sin(x)}{x}$，数列$x_n=\frac{sin(n)}{n}$是此函数上的点，$\underset{x\to \infty }{\lim }{x}_n=\frac{sin(n)}{n}=0$，$x_n$在会在正负之间不断变化，不会在某一个$N$之后$x_n$大于$0$或小于$0$。

如下如所示，$\underset{x\to x_0}{\lim }f(x)=\underset{x\to x_0}{\lim }xsin\frac{1}{x}=0$，$x\in \stackrel{\circ }{U}\left(0,\delta \right)$函数值不具有保号性。

上述结论 2. 中是非严格不等号 ($⩾$ 或 $⩽$) ，不论数列项或函数值是否取到$0$，极限值都可以取到$0$。

如果结论 2. 中取$x_n>0$(或 $x_n<0$ )，$f(x)>0$ (或 $f(x)<0$ )，则 $A⩾0$ (或 $A⩽0$ )，极限依然取等号。

考研真题

极限保号性的应用

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(1995, 数三) 设 $\underset{x\to a}{\lim }\frac{f(x)-f(a)}{(x-a{)}^2}=-1$ , 则在点 $x=a$ 处
(A）$f(x)$ 的导数存在, 且 $f^{\prime }(a)\ne 0$ .
(B) $f(x)$ 取得极大值.
(C）$f(x)$ 取得极小值.
(D) $f(x)$ 的导数不存在.

【解 1】极限保号性的应用

因为 $\underset{x\to a}{\lim }\frac{f(x)-f(a)}{(x-a{)}^2}=-1<0$ ，由极限保号性知，存在 $\delta >0$ , 当 $x\in \stackrel{\circ }{U}(a,\delta )$ 时，
$$\frac{f(x)-f(a)}{(x-a{)}^2}<0$$
又因为当 $x\in \stackrel{\circ }{U}(a,\delta )$ 时, $(x-a{)}^2>0$ , 则 $f(x)-f(a)<0$ , 即 $f(x)<f(a)$，由极值的定义得在点 $x=a$ 处 $f(x)$ 取得极大值.

【解 2】取特值法

令 $f(x)=-(x-a{)}^2$ , 显然 $f(x)$ 满足题设条件, 但在 $x=a$ 处 $f(x)$ 可导且 $f^{\prime }(a)=0$ , 取极大值, 则选项 (A) © (D) 都不正确, 故应选 (B).