1.树的基本概念

在认识数据结构里的“树”之前，我们先来看看现实生活中的树

我们现实生活中的树有什么特征？
有树根，有枝节，有叶子。
编程来源于生活，我们数据结构里的“树”也有这些特征。

概念如下：

树是一种非线性数据结构，它是由n(n≥0)个有限节点组成一个具有层次关系的集合。把它叫做“树”是因为它看起来像一棵倒挂的树，也就是说它是根朝上，而叶朝下的。 ————百度百科

注意 “非线性” 这个词，表面了该数据结构是一对多或者多对多的关系

1.1 树的特点

1.有一个特殊的结点，称为根结点，根节点没有前驱结点（就是最上面的结点）
2.除根节点外，其余结点被分成M(M>0)个互不相交的集合T1、T2、……、Tm，其中每一个集合Ti(1<= i <= m)又是一棵结构与树类似的子树。每棵子树的根结点有且只有一个前驱，可以有0个或多个后继

我们主要来看第二条：
“互不相交的集合”，就是结点之间不能有交集
如下图

其实，仔细观察的话，我们可以发现，这个说法还能换成：
树结构之间不能有回路

这几个点之间产生了回路，所以就不是树。

再来看看第二个特点：子树
就是，一颗大的树里面，包含了多个子树。
如图：

图中圈出来就是子树，这些子树还能被分为更小的子树。

再来刨析第二条特点：
每棵子树的根结点有且只有一个前驱，可以有0个或多个后继
“前驱”“后继”是什么？
在上面树的逻辑图中   （仔细想想什么是逻辑图，后面会讲）
我们可以看到，除了第一层，和最后一层外，中间的结点都连了相应的结点
连接在上面的叫“前驱”，连接在下面的叫“后继”
根结点只有后继没有前驱，
最后一层的结点（也叫叶结点），只有前驱，没有后继
所以总结为：
 子树的根结点只有一个前驱，有0个或者多个后继

1.2 树的一些相关概念

概念挺多的，我们这里划分一下分为常用的和不常用的

常用的并且重要的：

节点的度：一个节点含有的子树的个数称为该节点的度； 如上图：A的为6
叶节点或终端节点：度为0的节点称为叶节点； 如上图：B、C、H、I...等节点为叶节点
双亲节点或父节点：若一个节点含有子节点，则这个节点称为其子节点的父节点； 如上图：A是B的父节点
孩子节点或子节点：一个节点含有的子树的根节点称为该节点的子节点； 如上图：B是A的孩子节点
兄弟节点：具有相同父节点的节点互称为兄弟节点； 如上图：B、C是兄弟节点
树的度：一棵树中，最大的节点的度称为树的度； 如上图：树的度为6
节点的层次：从根开始定义起，根为第1层，根的子节点为第2层，以此类推
树的高度或深度：树中节点的最大层次； 如上图：树的高度为4
节点的祖先：从根到该节点所经分支上的所有节点；如上图：A是所有节点的祖先
子孙：以某节点为根的子树中任一节点都称为该节点的子孙。如上图：所有节点都是A的子孙

不常用的：
非终端节点或分支节点：度不为0的节点； 如上图：D、E、F、G...等节点为分支节点
堂兄弟节点：双亲在同一层的节点互为堂兄弟；如上图：H、I互为兄弟节点
森林：由m（m>0）棵互不相交的树的集合称为森林；（就是两棵或多棵互不相干的树）

1.3 树的表示

还记得我们上面提到的逻辑图吗？

这种能形象地表示数据结构的图，我们称为逻辑图。
比如链表，那种两个结点之间有箭头指向的图，以及我们上面这幅图都是逻辑图
其最大的特点就是，这种图是我们想象出来的，真实结构并不是这样的
所以在计算机里，我们还要利用更底层的数据结构实现它。
比如利用数组实现树，或者链表实现树

1.3.1 那种结构表示树最优？（不是二叉树，就是普通的树）

如果仅仅是一棵普普通通的二叉树，每个结点最多连两个结点，那么我们分别创建
左孩子指针和右孩子指针就能表示了。
但是，这里是树，也就是说一个结点可能连接两个以上的结点，
可能3个，4个，5个，6个...
那我们可以利用“指针数组”去实现这么多的结点。
但是，有没有更好的方法？
同样只利用两个指针就可以一直表示下去？
思考一下
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//孩子兄弟表示法
typedef int DataType;
struct Node
{
 struct Node* _firstChild1; // 第一个孩子结点
 struct Node* _pNextBrother; // 指向其下一个兄弟结点
 DataType _data; // 结点中的数据域
};

有牛人发明了这种“孩子兄弟表示法”，能完美实现2个度以上的树

一个结点里存有 “孩子”和“兄弟”
“孩子“指向自己的下一个结点，没有”兄弟“就不用指向
”孩子“指向的结点，也有自己的”孩子“和”兄弟“，然后可以可以无限表示下去了。
仔细感受一下，牛人发明的这种方法，不得不佩服。

1.4 树在实际中的运用（表示文件系统的目录树结构）

2. 二叉树（重点！！！）

2.1 二叉树的概念

在上面学习了树以后，我们接下来看看二叉树
二叉树：由一个根节点加上两棵别称为左子树和右子树的二叉树组成

注意：
1. 二叉树不存在度大于2的结点
2. 二叉树的子树有左右之分，次序不能颠倒，因此二叉树是有序树

对于任意的二叉树都是由以下几种情况复合而成的：

2.2 特殊的二叉树

1. 满二叉树：一个二叉树，如果每一个层的结点数都达到最大值，则这个二叉树就是满二叉树。也就是
说，如果一个二叉树的层数为K，且结点总数是2^k - 1 ，则它就是满二叉树。
（注意是结点总数）

记住这个层数为k时，结点总数是 $2^k-1$，非常重要，后面需要用到

2. 完全二叉树：完全二叉树是效率很高的数据结构，完全二叉树是由满二叉树而引出来的。对于深度为K的，有n个结点的二叉树，当且仅当其每一个结点都与深度为K的满二叉树中编号从1至n的结点一一对应时称之为完全二叉树。 要注意的是满二叉树是一种特殊的完全二叉树。

简单理解完全二叉树就是，最后一层可以满，满了就是满二叉树。也可以不满，不满的话起码结点从左往右排好

2.3 完全二叉树的范围

因为满二叉树是一种的特殊的完全二叉树，所以完全二叉树的总结点最多是 $2^k-1$,(k表示总层数)

那么最少是多少？
最少的话是不是最后一层只有一个结点？
既然这样的话，那么最后一层的上一层总结点数是不是 $2^{k-1}-1$
那么上一层是满的，再 +1 是不是就是最后一层加一个结点
答案就是:
$2^{k-1}$

所以完全二叉树的总结点范围就是
$2^{k-1}$ ~ $2^k-1$ （k是总层数）

2.4 二叉树的性质

1. 若规定根节点的层数为1，则一棵非空二叉树的第i层上最多有$2^{(i-1)}$个结点. (注意这里是某一层上的最多结点)

2. 若规定根节点的层数为1，则深度为h的二叉树的最大结点数是$2^h-1$ (就是满二叉树)

3. 对任何一棵二叉树, 如果度为0其叶结点个数为n₀ , 度为2的分支结点个数为n₂ ,则有 n₀＝ n₂ ＋1（度为0的结点永远比度为2的结点多1，这个结论也挺重要的，自己画图理解一下）

4. 若规定根节点的层数为1，具有n个结点的满二叉树的深度，h=log₂(n+1)

5. 对于具有n个结点的完全二叉树，如果按照从上至下从左至右的数组顺序对所有节点从0开始编号，则对于序号为i的结点有：
   5.1 若i>0，i 位置节点的双亲序号：(i-1)/2；i=0，i为根节点编号，无双亲节点
   5.2 若2i+1<n，左孩子序号：2i+1，2i+1>=n否则无左孩子
   5.3 若2i+2<n，右孩子序号：2i+2，2i+2>=n否则无右孩子

3.例题

光看性质是不是觉得很乱，我们来做几道题就明白了。

3.1

在一颗度为3的树中，度为3的结点有2个，度为2的结点有1个，度为1的结点有2个，则叶子结点有（ ）个

解答：
设该树共有n个结点，这是一棵度为3的树，
则 n = n₀ + n₁ + n₂+n₃ … …(1)
有n个结点的树的边有 n - 1 条
根据度的定义，总边数与度之间的关系为
n - 1 = n₀* 0 + n₁ * 1 + n₂ * 2 + n₃ * 3 … … (2)

(1)(2)式联立可得 n₀=n₂+2 * n₃ + 1
而叶子结点就是度为0的点
所以答案就是 n₀ = 1 + 2 * 2 + 1 = 6

3.2

一颗拥有1000个结点的树度为4，则它的最小深度是()

解答：
如果这棵树每一层都是满的，则它的深度最小，

n层k叉树的总结点个数 ($k^n-1$) / (k - 1)
所以树的度为4，表示4叉树，
（$4^n-1$）/ 3
当n = 5,最大结点数为 341
当n = 6,最大结点数为 1365

所以最小深度为6

3.3

一颗完全二叉树有1001个结点，其叶子结点的个数是（）

解答：
这里需要用到 二叉树的性质 3
n₀ = n₂ + 1，度为0的结点永远比度为2的结点多一个

这是一棵二叉树，度可能是0，1，2，分别用 n₀,n₁,n₂表示

n_总= n₀+n₁+n₂

另外，在完全二叉树中，如果节点总个数为奇数，则没有度为1的节点，如果节点总个数为偶数，只有一个度为1的节点。（自己画个图能推出来）
那么1001个结点，没有度为1的结点

所以 n_总 = n₀ + n₀ - 1 = 1001
所以 n₀ = 501
所以叶子结点就是 501