前言

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二叉搜索树的定义：

• 节点的左子树只包含 小于 当前节点的数。
• 节点的右子树只包含 大于 当前节点的数。
• 所有左子树和右子树自身必须也是二叉搜索树。

一. 验证二叉搜索树

原题链接

思路：

1. 树的中序遍历：左节点 --> 父节点 --> 右节点。
2. 我们按照中序遍历二叉树，比较节点的大小即可。可以用一个全局的临时变量来存储上一个节点的值。

代码如下：

long preVal = Long.MIN_VALUE;

public boolean isValidBST(TreeNode root) {
    if (root == null) {
        return true;
    }
    // 判断左节点
    if (!isValidBST(root.left)) {
        return false;
    }
    // 当前节点肯定是要大于上一个节点的值的，这样才满足二叉搜索树的性质
    if (root.val <= preVal) {
        return false;
    }
    // 更新pre值
    preVal = root.val;
    // 判断右节点
    return isValidBST(root.right);
}

二. 不同的二叉搜索树

原题链接

思路如下：

1. 我们假设dp[i] 是以 i 个数字组合而成的不同二叉搜索树的个数。
2. f(i) ：代表以数字 i 为根节点的二叉搜索树个数。
3. 那么此时，左节点的节点数量为： i - 1，右节点的节点数量为： n - i 。那么左侧节点可组成的不同二叉树个数为：dp[i-1]，右侧为：dp[n-i]。
4. 即 f(i) = dp[i-1] * dp[n-i] 。
5. 而dp[n] = f(1) + f(2) + ... + f(n) = dp[0] * dp[n-1] + dp[1] * dp[n-2] + ... + dp[n-1] + dp[0]。即得一个动态规划的递推公式。

最终代码如下：

public int numTrees(int n) {
    int[] dp = new int[n + 1];
    // 初始化
    dp[0] = 1;
    dp[1] = 1;
    for (int i = 2; i < n + 1; i++) {
        for (int j = 1; j < i + 1; j++) {
            dp[i] += dp[j - 1] * dp[i - j];
        }
    }
    return dp[n];
}

三. 不同的二叉搜索树II

原题链接

我们可以用自底向上的一种思路去考虑，当以数字 i 作为根节点，构建二叉搜索树的时候，数量有多少？

1. 我们假设一个函数：buildTree(int left , int right) 是用来统计区间[left,right]范围内，不同的二叉搜索树集合。

• 那么当以数字 i 作为根节点的时候，左侧区间可拿到的集合为：buildTree(left, i -1 )，右侧为：buildTree(i+1,right)。
• 拿到这两个左右集合之后，我们遍历他们，两两结合，以数字 i 作为根节点，构建二叉搜索树。

不难得出代码：

public List<TreeNode> buildTree(int left, int right) {
    ArrayList<TreeNode> res = new ArrayList<>();
    // 边界判断
    if (left > right) {
        res.add(null);
        return res;
    }
    if (left == right) {
        res.add(new TreeNode(left));
        return res;
    }
    // 统计区间[left,right]内的二叉搜索树个数
    for (int i = left; i <= right; i++) {
        // 如果以 i 作为二叉搜索树的根节点，那么，左侧区间可构建的二叉搜索树的数量为
        List<TreeNode> leftBSTNum = buildTree(left, i - 1);
        List<TreeNode> rightBSTNum = buildTree(i + 1, right);
        // 左右两个子二叉搜索树两两结合
        for (TreeNode leftTree : leftBSTNum) {
            for (TreeNode rightTree : rightBSTNum) {
                TreeNode root = new TreeNode(i);
                root.left = leftTree;
                root.right = rightTree;
                res.add(root);
            }
        }
    }
    return res;
}

那么最终代码如下：

public List<TreeNode> generateTrees(int n) {
    ArrayList<TreeNode> res = new ArrayList<>();
    // 特殊值判断
    if (n == 0) {
        return res;
    }
    return buildTree(1, n);
}

public List<TreeNode> buildTree(int left, int right) {
    ArrayList<TreeNode> res = new ArrayList<>();
    // 边界判断
    if (left > right) {
        res.add(null);
        return res;
    }
    if (left == right) {
        res.add(new TreeNode(left));
        return res;
    }
    // 统计区间[left,right]内的二叉搜索树个数
    for (int i = left; i <= right; i++) {
        // 如果以 i 作为二叉搜索树的根节点，那么，左侧区间可构建的二叉搜索树的数量为
        List<TreeNode> leftBSTNum = buildTree(left, i - 1);
        List<TreeNode> rightBSTNum = buildTree(i + 1, right);
        // 左右两个子二叉搜索树两两结合
        for (TreeNode leftTree : leftBSTNum) {
            for (TreeNode rightTree : rightBSTNum) {
                TreeNode root = new TreeNode(i);
                root.left = leftTree;
                root.right = rightTree;
                res.add(root);
            }
        }
    }
    return res;
}