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文章目录

• 整数拆分
• 神奇的口袋

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一、整数拆分OJ链接

本题思路:本题是一道简单的01背包问题。由于题目中说将数字拆分成2的幂，而且可以重复使用。

Python代码：

N=1000010
mod=int(1e9)

f=[0]*N;

n=int(input())

f[0]=1

i=1
while i<=n:
  for j in range(i,n+1):
    f[j]=(f[j]+f[j-i])%mod
  i*=2
    
print(f[n])
  

C++代码:

#include<bits/stdc++.h>

using namespace std;

constexpr int N=1e6+10;
constexpr int MOD=1e9;

int n;
int f[N];
/*
本题解决方案就是采用完全背包问题的方式：
由于题目中说将数字拆分成2的幂，而且可以重复使用

*/
int main()
{
    cin.tie(nullptr)->sync_with_stdio(false);
    
    cin>>n;
    
    f[0]=1;//如果当前没有数字，此时自己也是一种方案
    for(int i=1;i<=n;i*=2)//枚举2的幂
        for(int j=i;j<=n;j++)//当前状态下能否达到n的状态
            f[j]=(f[j-i]+f[j])%MOD;
    cout<<f[n]<<endl;
            
    return 0;
}

二、神奇的口袋

本题思路:本题是一道简单的01背包问题。状态定义: f[i][j]表示前 i 个物品在总体积等于j下的所有方案数,集合划分: 可以根据选 i 这个物品或者不选 i 这个物品进行划分，状态计算: f[i][j] = f[i - 1][j] + f[i - 1][j - w[i]]。那么此时可以优化空间，以下代码即为优化空间后的代码。

Python代码:

n=int(input())

dp=[0]*45;

dp[0]=1
for i in range(1,n+1):
  x=int(input())
  for j in range(40,x-1,-1):
    dp[j]+=dp[j-x]
print(dp[40])

C++代码:

#include <bits/stdc++.h>

constexpr int N=45;

int n;
int a[N];
int f[N];

int main()
{
  std::ios::sync_with_stdio(false);
  std::cin.tie(nullptr);std::cout.tie(nullptr);
  
  std::cin>>n;
  for(int i=1;i<=n;i++) std::cin>>a[i];
  
  f[0]=1;// 选0个物品且体积恰好为0的方案数为1
  for(int i=1;i<=n;i++)
    for(int j=40;j>=a[i];j--)
      f[j]+=f[j-a[i]];//这里是一维背包优化，这里可以看一下之前的01背包
  std::cout<<f[40]<<std::endl;
  return 0;
}