软考 - 数据结构与算法

news2025/7/12 15:06:08

数据结构

线性结构

线性表

存储结构

  • 顺序存储：用一组地址连续的存储单元 依次存储线性表中的数据元素，使得逻辑上相邻的元素物理上也相邻。

  • 链式存储：存储各数据元素的结点的地址并不要求是连续的，数据元素逻辑上相邻，物理上分开。

例题：
若长度为n的线性表采用链式存储结构,要在第i个位置(0<=i<=n)插入一个新元素的算法的时间复杂度为（On）？

解：
一般来讲，链式存储很方便插入和删除，确实是O(1),但是这是建立在你有指针指向要插入的位置作为前提的。
本题无专门指针，强调了第i个位置，那么就还需要额外的O（n）来找到第i个位置。

栈和队列

  • 循环队列的计算

串的模式匹配算法

  • 基本的匹配方法
  • KMP算法【掌握】

矩阵

  • 特殊矩阵：对称矩阵，对角矩阵，三角矩阵
  • 稀疏矩阵

树与二叉树

树的基本概念

（1）双亲、孩子和兄弟。结点的子树的根称为该结点的孩子；相应地，该结点称为其子结点的双亲。具有相同双亲的结点互为兄弟。

（2）结点的度。一个结点的子树的个数记为该结点的度。

（3）叶子结点。叶子结点也称为终端结点，指度为0的结点。

（4）内部结点。度不为0的结点，也称为分支结点或非终端结点。除根结点以外，分支结点也称为内部结点。

（5）结点的层次。根为第一层，根的孩子为第二层，依此类推，若某结点在第i层，则其孩子结点在第计1层。

（6)树的高度。一棵树的最大层数记为树的高度（或深度）。

（7）有序(无序)树。若将树中结点的各子树看成是从左到右具有次序的，即不能交换，则称该树为有序树，否则称为无序树。

例：
若n2、n1、n0分别表示一个二叉树中度为2、度为1和叶子结点的数目（结点的度定义为结点的子树数目），
则对于任何一个非空的二叉树，（） 。

解：
叶子节点 = 度为2的结点+1
https://zhidao.baidu.com/question/306578964.html
  • 在树中，结点总数 = 分支总数+1 【只有总结点没有分支】

二叉树【重点】

三种二叉树

完全二叉树的k-1层是满结点的，第k层结点从左到右是满的。 如下图所示:

在这里插入图片描述

在这里插入图片描述

二叉树存数结构

  • 顺序存储
  • 链式存储
具有3个结点的二叉树有5种，可推测出具有4个节点的二叉树有（）种?

如果增加的结点是根结点，则可以分为在原有结点的左侧和右侧两种情况，则有5*2=10种二叉树。如下图，虚线代表一种可能性。
上面的情况是根结点一个分支，当根结点为两个分支时，又有4种情况：

https://blog.csdn.net/Stephen___Qin/article/details/109557499

二叉树遍历

  • 先序（前序）遍历：根左右
  • 中序遍历：左根右
  • 后续遍历：左右根
  • 层次遍历：上下，左右

在这里插入图片描述

例：
前序：12457836
中序：42785136
后序；48752631

反向构造二叉树

仅仅有前序和后序是无法构造二叉树的，必须要是和中序遍历的集合才能反向构造出二叉树，

因为构造时前序和后序可以确定根结点，中序遍历用来确定根节点左子树和右子树

例题：
先序+中序 -> 后序 （可以推导根结点）
中序 + 后序 -> 前序（可以推导根结点）
先序+后序 不能构造确定的二叉树

层序 + 中序 可以构造 先序
层序+ 后序 不能构造 先序

线索二叉树【重点】

笔记：https://blog.csdn.net/m0_61886762/article/details/124541056

我们现在倡导节约型社会，一切都应该以节约为本。但当我们创建二叉树时我们会发现其中一共有两个指针域，有的指针域指向的结构为空，这也就浪费了很多空间。所以为了不去浪费这些空间我们采取了一个措施。就是利用那些空地址，存放指向结点在某种遍历次序之下 的前驱和后继结点的地址。就好像GPS导航仪一样，它可以告诉我们下一站是哪里，我们是从那里来的。我们把这种指向前驱和后继的指针成为线索，加上线索的二叉链表称为线索链表，相应的二叉树就成为线索二叉树。
在这里插入图片描述

最优二叉树（哈夫曼树或赫夫曼树）【重点】

树的带权路径长度＝所有叶子节点带权路径长度之和，即所有叶子节点的权值乘以该叶子节点所在的层次（第一层为0）之和。

权值就是指的一个节点的权重，比如把二叉树应用在编码中，权重就可以理解为码出现的概率。

  • 哈夫曼树是带权路径长度最短的树，权值较大的结点离根较近。
例：
若用n个权值构造一棵最优二叉树（哈夫曼树），则该二叉树的结点总数为（）

解：
n 个叶子，n-1 个非叶节点，共2n-1 个。

构造哈夫曼树

  • 将其中两个最小的权值作为叶子节点，其和作为父节点，将其和替换两个权值，重复操作！

在这里插入图片描述

构造哈夫曼编码

  • 构造哈夫曼树编码，左右结点相差最小，左节点小于右节点，左节点编码为0，右节点编码为1
例：采用霍夫曼编码对下列字符编码，则字符“bee”的编码为（？）；编码：“110001001101”对应的字符序列为（？）；

解：先画出哈夫曼树！！！
字符abcdef
频率（%）4513121695

在这里插入图片描述

哈夫曼树的压缩比（对于二级制压缩来说）

res1 用二级制编码至少需要n位二级制，平均字符长度位n
res2 用哈夫曼树编码，平均字符长度 = n1*a1字符频率+n2*a2字符频率+n3*a3字符频率...
压缩比： (res1-res2)/res2

树和森林【不怎么考】

树的存储结构

双亲表示法：用一组连续的地址单元存储树的节点，并在每个节点中附带一个指 示器，指出其双亲节点所在数组元素的下标。

孩子表示法：在存储结构中用指针指示出节点的每个孩子，为树中每个节点的孩 子建立一个链表。

孩子兄弟表示法：又称为二叉链表表示法，为每个存储节点设置两个指针域，分 别指向该节点的第一个孩子和下一个兄弟节点。

树和森林的遍历

树和森林的遍历

由于树中每个节点可能有多个子树，因此遍历树的方法有两种：

先根遍历：先访问根节点，再依次遍历根的各颗子树。

后根遍历：先遍历根的各颗子树，再访问根节点。

森林中有很多课树，森林的遍历方法也分为两种，与树的遍历类似，就是对森林 中的每棵树都依次做先根遍历或后根遍历。

树和二叉树的转化

树的最左边结点作为二叉树的左子树，树的其他兄弟结点作为二叉树的右子树结点。

在这里插入图片描述

查找（排序）二叉树

一句话：中序遍历（左根右）从小到大

二叉排序树的查找效率取决于二叉排序树的深度，对于结点个数相同的二叉排序树，平衡二叉树的深度最小，而单枝树的深度是最大的，故效率最差。

二叉排序树的关键码序列

给出的序列，能够通过 左小右大 组成的查找树和给出的查找树相同！

平衡二叉树

一句话：平衡二叉树就是任意左右子树层次相差不超过1

平衡二叉（AVL）树本质还是一棵二叉查找树

为了方便起见，给树上的每个结点附加一个数字，给出该结点左子树与右子树的高度差，这个数字称为结点的平衡因子（BF）

平衡因子 = 结点左子树的高度-结点右子树的高度。

因此平衡二叉树所有结点的平衡因子只能是-1、0、1，如下图，是一个平衡二叉树

在这里插入图片描述

图

图的种类

  • 有向图
  • 无向图
  • 完全图：无向完全图中，节点两两之间都有连线，n个结点的连线数为n-1)+n-2+…+1 n*(-1)/2:有向完全图中，节点两两之间都有互通的两个箭头，n个节点的连线数为 n*(n-1）

图的存储

  • 临接矩阵 – 二维数组

在这里插入图片描述

  • 临接链表 - 一维数组+链表

在这里插入图片描述

图的遍历

  • 深度优先（dfs）

  • 广度优先（bfs）

图的最小生成树【重点】

  • 普利姆算法【Prim】（不断寻找最小边，然后加入集合判断）

    • 适合网比较稠密

  • 克鲁斯卡苏纳法【Kruscal推荐】

    • 与边数相关，每次需要遍历边，适合网稀疏
    • 这个算法是从边出发的，因为本质是选取权值最小的n-1条边，因此，就将边按权值大小排序，依次选取权值最小的边，直至囊括所有节点，要注意，每次选边后要检查不能形成环路。

在这里插入图片描述

网的拓扑序列

AV网（以顶点表示活动的网）：在有向图中，以顶点表示活动，用有向边表示活 动之间的优先关系。

AV网用来表示大的工程项目执行计划，因此不能出现有向环，若存在，则意味着 某项活动必须以自身任务的完成为先决条件，因此，若要检测一个工程是否可行， 首先应检查对应的AV网是否存在回路。检测的方法是对有向图构造其顶点的拓扑 有序序列。

求拓扑序列【重点】

构造方法：将有向图的有向边作为活动开始的顺序，若图中一个节点入度为0，则 应该最先执行此活动，而后删除掉此节点和其关联的有向边，再去找图中其他没 有入度的结点，执行活动，依次进行，示例如下：
在这里插入图片描述

堆

构建大顶堆 和 小顶堆

算法

基础知识点

时间复杂度（渐进时间复杂度）

T(n) = 3n^3+2n^2+n 时间复杂度为 O(n^3)

时间复杂度用递归式表示的计算

  • https://blog.csdn.net/qq_31829611/article/details/105063979

公式法表达式：

在这里插入图片描述

当参数 a、b 都确定的时候，光看递归的部分，它的时间复杂度就是：

在这里插入图片描述

空间复杂度

指在运行过程中 临时占用存储空间的大小（全局变量即本来就需要占用的不算）

查找

  • 顺序查找
  • 二分查找【重点】(i+j)/2
  • 哈希表查找
    • 哈希值冲突，线性探测法，按物理地址（当前冲突地址）顺序取下一个空闲的存储空间

排序

稳定性：时间复杂度 和 是否改变相同数字的顺序

在这里插入图片描述

  • 插入类排序：直接插入排序（类似玩扑克排序,从后往前比较）、希尔排序(分割若干序列直接插入排序)

  • 交换类排序：冒泡排序、快速排序（二分思想，取中间值，其他值对其左右排序后，在递归）

快速排序

快速排序：
https://www.cnblogs.com/nicaicai/p/12689403.html
看源码便于理解
  • 选择类排序：简单选择排序（选择最小值，只交换一次）、堆排序
  • 归并排序

归并排序

在这里插入图片描述

  • 基数排序
直接插入排序元素次数比较最小：序列为需要顺序，比较次数最小；序列为需要顺序逆序，比较次数最多！
https://blog.csdn.net/qq_44616044/article/details/115708056

搞懂直接插入排序 和 归并排序！！！
https://www.cnblogs.com/haowuji/p/6961731.html

动态规划法DP

  • 构造表格，每一步最优，最后全局最优
  • 求矩阵连乘？？

贪心法

  • 局部最优，最后全部不一定最优

KMP算法

求next函数

  • https://www.jianshu.com/p/2ac684ab44c8
规定：第一个字母的 next 值置 0 （next[1] = 0），第二个字母的 next 值置 1（next[2] = 1）
从第 3 个开始，计算第 i 个位置的 next 值时，检查 p[i-1]== p[next[i-1]] ?（即这两个值是否相等）
若相等，则 next[i] = next[i-1] + 1 
若不等，则继续往回找，检查p[i-1]== p[next[next[i-1]]] ?
以此类推！！
若不等，则继续往回找，直到找到下标为 1 还不等（即字符串第一个元素），直接赋值 next[i] = 1

分支限界法

概率算法

数据挖掘

智能优化

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